[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1985年(昭和60年)東京大学-数学(理科)[2]

2023.08.26記

[2] $xy$ 平面において， $\mbox{O}$ を原点， $\mbox{A}$ を定点 $(1,0)$ とする．また， $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ は円周 $x^2+y^2=1$ の上を動く $2$ 点であって，線分 $\mbox{OA}$ から正の向きにまわって線分 $\mbox{OP}$ にいたる角と，線分 $\mbox{OP}$ から正の向きにまわって線分 $\mbox{OQ}$ にいたる角が等しいという関係が成り立っているものとする．

点 $\mbox{P}$ を通り $x$ 軸に垂直な直線と $x$ 軸との交点を $\mbox{R}$ ，点 $\mbox{Q}$ を通り $x$ 軸に垂直な直線と $x$ 軸との交点を $\mbox{S}$ とする．実数 $l\geqq 0$ を与えたとき，線分 $\mbox{RS}$ の長さが $l$ と等しくなるような点 $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ の位置は何通りあるか．

2020.12.01記

[解答]
${\rm P}(\cos\theta,\sin\theta)$ ， ${\rm Q}(\cos2\theta,\sin2\theta)$ とおける．

このとき ${\rm RS}=|\cos 2\theta-\cos\theta|$ であり， $t=\cos\theta$ とおくと
${\rm RS}=|2t^2-t-1|$ となる．

このグラフは次図である．

ここで，
$t=\pm 1$ に対する $\theta$ は1つ，
$t=-1\lt t\lt 1$ に対する $\theta$ は2つ
であることに注意すると

$l=0$ のときは3通り
$0\lt l\lt \dfrac{9}{8}$ のときは6通り
$l=\dfrac{9}{8}$ のときは4通り
$\dfrac{9}{8}\lt t\lt 2$ のときは2通り
$l=2$ のときは1通り
$2\lt l$ のときは0通り

となる．