1957年(昭和32年)東京大学-数学(一般数学)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.02.13記

[2] 右の図は直円錐台の投影図であって，その高さは $\sqrt{7}$ ，上底面と下底面の直径はそれぞれ $6$ および $12$ である．また側面上の二点 $\rm A，B$ の平面図はぞれぞれ a，b であり，立面図はそれぞれ a′，b′ である．側面上を通って二点 $A，B$ を結ぶ曲線の長さの最小値を求めよ．ただし，曲線は上底面および下底面の周上を通ってもよい．

[図]

2022.02.18記
円錐の側面積は，底面の半径を $r$ ，母線の長さを $l$ とすると $\pi l r$ となるので，側面の扇形の中心角度は $2\pi\times\dfrac{r}{l}$ となる．

[解答]
直円錐の高さは $2\sqrt{7}$ であるから，側面の扇形は，半径 $8$ の円から半径 $4$ の同心円をくりぬいたものとなり， $\rm A,B$ を同心円の中心から見込む角度　 $\pi\dfrac{6}{8}=\dfrac{3\pi}{4}$ である．

同心円の外側の円上の点から内側の円へ接線を引くとき，接点と点を同心円の中心から見込む角度は，半径比が $1:2$ より $\dfrac{\pi}{3}$ であるから，
$\rm A$ から接線により内側の円に移動し，内側の円弧に沿って $\rm B$ に行くのが最短となる．よって
$4\sqrt{3}+4\times\dfrac{5}{12}\pi$ $=4\sqrt{3}+\dfrac{5}{3}\pi$
となる．