1957年(昭和32年)東京大学-数学(一般数学)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.02.13記

[1] ある年に甲は年利率2.9% で80 万円を，乙は年利率5% で50 万円を，乙は年利率8% で30
万円を預金した．そのままにしておけば，甲，乙，丙三人の貯金高の順位は預け入れた時から経過した年数とともにどのように変わるか．ただし，利息の計算は1
年ごとの複利とする．必要があれば次の対数を用いよ．

$\log_{10} 2=0.30103$ ， $\log_{10} 3=0.47712$ ， $\log_{10} 7=0.84510$

2022.02.18記
最初は，甲、乙、丙の順番に貯金高は高いが，最終的には丙、乙、甲の順番になる。
このとき，丙は、乙、甲を抜き、乙は甲を抜くので、貯金高の順番は4通りになる。

[解答]
$n$ 年後の、甲、乙、丙の貯金高を $K_n,O_n,H_n$ とすると、
$K_n=80\times 1.029^n$ ， $O_n=50\times 1.05^n$ ， $H_n=30\times 1.08^n$
である．

$\log$ の底は10として省略する。
$\log 1.029=-3+\log 1029$ $=-3+\log 3+3\log 7$ $=0.01242$ ，
$\log 1.05=-2+\log 105$ $=-2+\log 3+(1-\log 2)+\log 7$ $=0.02119$ ，
$\log 1.08=-2+\log 108$ $=-2+2\log 2+3\log 3$ $=0.03342$
である．

まず、甲と乙を比べる。
$\log \dfrac{O_n}{K_n}$ $=\log\dfrac{5}{8}+n (\log 1.05-\log 1.029)$ $=1-4\log 2 + 0.00877 n =$ $0.00877 n -0.20412$
より，これが正となるのは $n\geqq 24$ のときである．

次に、甲と丙を比べる。
$\log \dfrac{H_n}{K_n}$ $=\log\dfrac{3}{8}+n (\log 1.08-\log 1.029)$ $=\log 3-3\log 2 + 0.021 n =$ $0.021 n -0.42597$
より，これが正となるのは $n\geqq 21$ のときである．

そしてに、乙と丙を比べる。
$\log \dfrac{H_n}{O_n}$ $=\log\dfrac{3}{5}+n (\log 1.08-\log 1.05)$ $=\log 3+\log 2 -1 + 0.01223 n =$ $0.01223 n -022185$
より，これが正となるのは $n\geqq 19$ のときである．