1979年(昭和54年)東京大学-数学(理科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.19記

[2] 図のように，半径 $1$ の球が，ある円錐の内部にはめこまれる形で接しているとする．球と円錐面が接する点の全体は円をなすが，その円を含む平面を $\alpha$ とする．円錐の頂点を $\mbox{P}$ とし， $\alpha$ に関して $\mbox{P}$ と同じ側にある球の部分を $\mbox{K}$ とする．また， $\alpha$ に関して $\mbox{P}$ と同じ側にある球面の部分および円錐面の部分で囲まれる立体を $\mbox{D}$ とする．

いま， $\mbox{D}$ の体積が球の体積の半分に等しいという．そのときの $\mbox{K}$ の体積を求めよ．

本問のテーマ

球台と球帽（球冠）の体積

2023.08.19記
球台と球帽（球冠）の体積 - 球面倶楽部零八式 mark II

[解答]
球の中心から $\alpha$ までの距離を $h$ とおくと，球帽 $\mbox{K}$ の半径は $\sqrt{1-h^2}$ ，高さは $1-h$ であるから， $\mbox{K}$ の体積は $\dfrac{\pi(1-h)}{6}(3(1-h^2)+(1-h)^2)$ $=\dfrac{\pi}{3}(2-3h+h^3)$
である．

円錐面と $\alpha$ で作られる円錐の体積は，底面の半径が $\sqrt{1-h^2}$ ，高さは $\dfrac{1}{h}-h$ であるから，その体積は $\dfrac{\pi}{3}(1-h^2)\left(\dfrac{1}{h}-h\right)$ $=\dfrac{\pi}{3}\left(\dfrac{1}{h}-2h+h^3\right)$
である．

よって $\mbox{D}$ の体積は
$\dfrac{\pi}{3}\left(h+\dfrac{1}{h}-2\right)$
となり，これが半球の体積 $\dfrac{2\pi}{3}$ に等しいので
$\dfrac{\pi}{3}\left(h+\dfrac{1}{h}-2\right)=\dfrac{2\pi}{3}$
から
$h^2-4h+1=0$
となる． $0\lt h\lt 1$ より $h=2-\sqrt{3}$ であり，このとき
$\mbox{K}$ の体積は
$\dfrac{\pi}{3}(2-3h+h^3)$ $=\dfrac{\pi}{3}(2-3h+h(4h-1))$ $=\dfrac{\pi}{3}(4h^2-4h+2)$ $=\dfrac{\pi}{3}(4(4h-1)-4h+2)$ $=\dfrac{\pi}{3}(12h-2)$ $=\dfrac{\pi}{3}(12(2-\sqrt{3})-2)$ $\dfrac{22-12\sqrt{3}}{3}\pi$
となる．