1980年(昭和55年)東京大学-数学(文科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.22記

[1][2] 図のような立体 $\mbox{ABCD}$ - $\mbox{EFGH}$ がある．上底面 $\mbox{ABCD}$ ，下底面 $\mbox{EFGH}$ はともに正方形であって，両底面はたがいに平行であり， $4$ つの側面 $\mbox{ABFE}$ ， $\mbox{BCGF}$ ， $\mbox{CDHG}$ ， $\mbox{DAEH}$ は台形であって， $\mbox{AE}=\mbox{BF}=\mbox{CG}=\mbox{DH}$ である．また下底面の $1$ 辺の長さは $12$ ，両底面の間の距離は $4$ である．

上底面の $1$ 辺の長さが $x$ のとき，側面 $\mbox{ABFE}$ の面積を $S(x)$ とする． $x$ が $2\leqq x\leqq 10$ の範囲を動くときの $S(x)$ の最大値と最小値を求めよ．

2020.11.26記

[解答]
相似を使って頑張ると
等脚台形の高さは $\sqrt{4^2+\Bigl(\dfrac{12-x}{2}\Bigr)}=\dfrac{\sqrt{64+(12-x)^2}}{2}$ となるので
$S(x)=\dfrac{1}{4}(x+12)\dfrac{\sqrt{64+(12-x)^2}}{2}$ となる．

$f(x)=4\{S(x)\}^2$ とおくと
$f'(x)=4(x+12)(x-4)(x-8)$
となり， $2\leqq x\leqq 10$ における増減表から端点と極値は，頑張って計算すると
$f(2)=16\cdot 2009$ ， $f(4)=16\cdot 2048$ ， $f(8)=16\cdot 2000$ ， $f(10)=16\cdot 2057$
となるので最大値は $S(10)=11\sqrt{17}$ ，最小値は $S(8)=20\sqrt{15}$

面倒臭い。