1963年(昭和38年)東京大学-数学(文科)[5] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.02.19記

[5] 平面上を運動する点があり，その $x$ 座標， $y$ 座標が時刻 $t$ の函数として
$\left\{ \begin{array}{l} x=f(t)=vt\cos\alpha \\ y=g(t)=vt\sin\alpha-5t^2 \end{array}\right. \quad \Bigl(v\gt 0，0\lt\alpha\lt\dfrac{\pi}{2}\Bigr)$
で与えられている．ある時刻 $t_0$ に $x=10$ ， $y=0$ となるとして，その時刻 $t_0$ における $x$ ， $y$ の変化率の2乗の和 $(f'(t_0))^2+(g'(t_0))^2$ を $\alpha$ の式で表わせ．また，この式の値を最も小さくするような $\alpha$ の値を求めよ．

2022.02.19記
物理で習う斜方投射。重力加速度が $9.8\mbox{m/s}^2$ でなく，ざっくり $10\mbox{m/s}^2$ となっている。

初速度 $v\mbox{m/s}$ で仰角 $\alpha$ で原点から投げた物体が
$10\mbox{m}$ 先に落下したときに，落下時の速度が一番小さくなるのはどのようなときかという問題。

落下時の速度は、初速度と同じになるので，物体を一番遠くに飛ばすには、斜め上45度に投げれば良いことを知っていれば，一番初速度が節約できる、という話。

[大人の解答]
重力加速度が $10\mbox{m/s}^2$ の場合の斜方投射で $10\mbox{m}$ 先に落下させるときに落下時の速度が一番小さくなれば良い．落下時の速度は初速度 $v$ に等しく，それを一番小さくするには斜め上45度に投げれば一番遠くに投げられることから、 $\alpha=45^{\circ}$ である．

$10\mbox{m}$ 先に落下させるとき
$vt_0\cos\alpha=10$ ， $vt_0\sin\alpha-5t_0{}^2=0$
から $t_0\neq 0$ で
$vt_0\cos\alpha=10$ ， $v\sin\alpha=5t_0$
となるので， $t_0$ を消去すると
$v^2=\dfrac{50}{\sin\alpha\cos\alpha}$
となるので，
$(f'(t_0))^2+(g'(t_0))^2$ $=(f'(0))^2+(g'(0))^2$ $=v^2$ $=\dfrac{50}{\sin\alpha\cos\alpha}$
となる．

[解答]
条件より $vt_0\cos\alpha=10$ ， $vt_0\sin\alpha-5t_0{}^2=0$ であり，前者から $t_0\neq 0$ で，このとき
$vt_0\cos\alpha=10$ ， $v\sin\alpha=5t_0$
が成立する．

よって
$(f'(t_0))^2+(g'(t_0))^2$ $=(v\cos\alpha)^2+(v\sin\alpha-10t_0)^2$ $=(v\cos\alpha)^2+(-v\sin\alpha)^2$ $=v^2$
となる．
$vt_0\cos\alpha=10$ ， $v\sin\alpha=5t_0$
から $t_0$ を消去すると
$v^2=\dfrac{50}{\sin\alpha\cos\alpha}$
となるので，
$(f'(t_0))^2+(g'(t_0))^2$ $=\dfrac{50}{\sin\alpha\cos\alpha}=\dfrac{100}{\sin2\alpha}$
となる．

この値が一番小さくなるには， $\sin2\alpha$ が最大となれば良いので
$\alpha=45^{\circ}$ のときである．