1963年(昭和38年)東京大学-数学(文科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.11.24記

[1] 直方体の一つの頂点 $\rm O$ から出る三つの辺を $\rm OA$ ， $\rm OB$ ， $\rm OC$ とし， $\rm O$ から最も遠い頂点を $\rm D$ とする． ${\rm BC}=a$ ， ${\rm CA}=b$ ， ${\rm AB}=c$ とするとき， $\rm OD$ の長さを $a$ ， $b$ ， $c$ で表わせ．また， $a=5$ ， $b=3$ のとき， $c$ のとりうる値の範囲を求めよ．

[2] $\rm P$ は平面上の定点， $l$ はこの平面上の定直線で， $\rm P$ から $l$ までの距離は $\sqrt{3}+1$ である．また， $\rm Q，R，S$ はこの平面上の動点で， $\rm S$ は $l$ 上にあるものとする． $\rm PQ，QR，RS$ の長さはそれぞれ一定で， $2+\sqrt{2}$ ， $2-\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}-1$ に等しい．このとき $\rm R$ の動きうる範囲を図示し，その面積を求めよ．

[zu]

[3] $f(x)=\dfrac{4x-2}{5-x}$ （ $x\neq 5$ ）とするとき

(1) $y=f(x)-x$ のグラフをかけ．

(2) $f(x)-x$ のとりうる値の範囲を求めよ．

(3) $f(x)\gt x$ となる $x$ の範囲を求めよ．

[4] 一辺の長さ $a$ の正四面体 $\rm ABCD$ の辺 $\rm AB$ ， $\rm AC$ ， $\rm AD$ の上に $\rm A$ から等距離にそれぞれ点 $\rm P，Q，R$ をとり， $\rm P，Q，R$ から面 $\rm BCD$ に下した垂線の足をそれぞれ ${\rm P}'$ ， ${\rm Q}'$ ， ${\rm R}'$ とする．

[zu]

[5] 平面上を運動する点があり，その $x$ 座標， $y$ 座標が時刻 $t$ の函数として
$\left\{ \begin{array}{l} x=f(t)=vt\cos\alpha \\ y=g(t)=vt\sin\alpha-5t^2 \end{array}\right. \quad \Bigl(v\gt 0，0\lt\alpha\lt\dfrac{\pi}{2}\Bigr)$
で与えられている．
ある時刻 $t_0$ に $x=10$ ， $y=0$ となるとして，その時刻 $t_0$ における $x$ ， $y$ の変化率の2乗の和 $(f'(t_0))^2+(g'(t_0))^2$ を $\alpha$ の式で表わせ．また，この式の値を最も小さくするような $\alpha$ の値を求めよ．