1982年(昭和57年)東京大学-数学(文科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.23記

[2] $xy$ 平面上の曲線 $y=x^2$ 上の $3$ 点を， $x$ 座標の小さいものから順に $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ とする． $\mbox{A}$ と $\mbox{B}$ との $x$ 座標の差は $a$ （ $a$ は正の定数）， $\mbox{B}$ と $\mbox{C}$ との $x$ 座標の差は $1$ ，という関係を保ちながら3点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ が動く．

$\angle\mbox{CAB}$ が最大になるときの，点 $\mbox{A}$ の $x$ 座標を $a$ で表わせ．また， $\angle\mbox{CAB}$ が最大になるときに， $\angle\mbox{ABC}$ が直角になるような $a$ の値を求めよ．

本問のテーマ

2次関数の表す放物線の割線の傾き(2020.11.26)
円周角の定理(2023.09.04)

2020.11.26記
2次関数の表す放物線の割線の傾きは「（ $x$ 座標の和）×（ $x^2$ の係数）」(高校入試)．
傾きは tan で．

[解答]
$\mbox{A}$ の $x$ 座標を $t$ とすると，
$\mbox{B}$ の $x$ 座標を $t+a$ ，
$\mbox{C}$ の $x$ 座標を $t+a+1$ だから
$\rm AB，\rm AC$ の傾きは $2t+a，2t+a+1$ となる．

よって $\tan \angle\mbox{CAB}=\dfrac{1}{4\left(t+\dfrac{a}{2}\right)\left(t+\dfrac{a+1}{2}\right)+1}$ となる．

これが最大となるのは $t+\dfrac{a}{2}+t+\dfrac{a+1}{2}=0$ ，つまり $t=-\dfrac{a}{2}-\dfrac{1}{4}$ のときである．

このとき $\rm AB$ の傾きは $-\dfrac{1}{2}$ だから $\rm BC$ の傾きが $a+\dfrac{1}{2}=2$ であれば良い．

よって $a=\dfrac{3}{2}$

2023.09.04記

[うまい解答]
$\mbox{A}$ の $x$ 座標を $t$ とすると，
$\mbox{B}$ の $x$ 座標を $t+a$ ，
$\mbox{C}$ の $x$ 座標を $t+a+1$ だから
$\rm AB，\rm AC$ の傾きは $2t+a，2t+a+1$ となり，傾きの差は $1$ で一定である．

直線 $x=t+1$ と $\rm AB，\rm AC$ の交点を $\mbox{B}'，\mbox{C}'$ とすると $\mbox{B}'\mbox{C}'=1$ であるから，
$\triangle \mbox{AB}'\mbox{C}’$ は底辺 $\mbox{B}'\mbox{C}'=1$ ，高さが $1$ の三角形となる．このとき $\angle\mbox{A}$ が最大となるのは， $\mbox{B}'，\mbox{C}'$ を通り直線 $x=t$ に接する円（半径は一定）と点 $\mbox{A}$ の位置関係を考えることにより，点 $\mbox{A}$ が直線 $x=t$ と円の接点に一致するときであることが円周角の定理からわかる．このとき， $\triangle\mbox{AB}'\mbox{C}'$ は2等辺三角形だから， $\rm AB$ と $\rm AC$ の傾きの和は0となる．