1970年(昭和45年)東京大学-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.02.24記

[1] $i$ を虚数単位とし $a=\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}$ とおく．
また $n$ はすべての自然数にわたって動くとする．このとき，

(1) $a^n$ は何個の異なる値をとり得るか．

(2) $\dfrac{(1-a^n)(1-a^{2n})(1-a^{3n})(1-a^{4n})(1-a^{5n})} {(1-a)(1-a^2)(1-a^3)(1-a^4)(1-a^5)}$ の値を求めよ．

[2] $x$ 軸上原点から出発し，貨幣を投げて表がでたら右へ1だけ進み，裏がでたら左へ $1$ だけ進むことにする．

(1) これを4回くりかえしたとき $x=0$ ， $\pm1$ ， $\pm2$ ， $\pm3$ ， $\pm4$ の各点にいる確率を求めよ．

(2) 一般にこれを $n$ 回くりかえしたとき $x=n-2$ にいる確率と $x=n-4$ にいる確率とを求めよ．

[3] $25\mbox{m}$ 隔てて二地点 $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ がある．いま $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ 二人がそれぞれ $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ に立ち，同時に向いあって走り出す．走り出してから $t$ 秒後の $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ の速度を， $\mbox{P}$ から $\mbox{Q}$ に向う方向を正の向きとしてそれぞれ $u\,\mbox{m}/秒$ ， $v\,\mbox{m}/秒$ とすれば， $u$ は一定で $v=\dfrac{3}{4}t^2-3t$ である．
このとき， $\mbox{B}$ が $\mbox{Q}$ にかえるまでに $\mbox{A}$ が $\mbox{B}$ に出あうかまたは追いつくためには， $u$ が少なくともどれほどの大きさでなければならないか．