1970年(昭和45年)東京大学-数学(理科)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.02.24記

[3] $25\mbox{m}$ 隔てて二地点 $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ がある．いま $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ 二人がそれぞれ $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ に立ち，同時に向いあって走り出す．走り出してから $t$ 秒後の $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ の速度を， $\mbox{P}$ から $\mbox{Q}$ に向う方向を正の向きとしてそれぞれ $u\,\mbox{m}/秒$ ， $v\,\mbox{m}/秒$ とすれば， $u$ は一定で $v=\dfrac{3}{4}t^2-3t$ である．
このとき， $\mbox{B}$ が $\mbox{Q}$ にかえるまでに $\mbox{A}$ が $\mbox{B}$ に出あうかまたは追いつくためには， $u$ が少なくともどれほどの大きさでなければならないか．

2024.02.24記

[解答]
走りだしてから $t$ 秒後の $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ の位置を， $\mbox{P}$ から測って $A(t)$ ， $B(t)$ とすると，
$A(t)=ut$ ，
$B(t)=\dfrac{t^3}{4}-\dfrac{3t^2}{2}+25$ $=\dfrac{t^2(t-6)}{4}+25$
が成立する．よって $\mbox{B}$ が $\mbox{Q}$ に帰るのは
$B(t)=25$ から $t=0，6$ となり，6秒後である．

それまでに， $\mbox{A}$ が $\mbox{B}$ に出あうかまたは追いつくためには，
$A(t)=B(t)$ が $0\lt t\lt 6$ の根をもつことが必要かつ十分である．

そこで，曲線 $y=B(x)$ の接線
$y=B'(\alpha)(x-\alpha)+B(\alpha)$
$=\left(\dfrac{3\alpha^2}{4}-3\alpha\right)(x-\alpha)+\dfrac{\alpha^3}{4}-\dfrac{3\alpha^2}{2}+25$
が原点を通る条件を求めると，
$0=\left(\dfrac{3\alpha^2}{4}-3\alpha\right)(0-\alpha)+\dfrac{\alpha^3}{4}-\dfrac{3\alpha^2}{2}+25$
より
$\alpha^3-3\alpha^2-50$ $=(\alpha-5)(\alpha^2+2\alpha+10)=0$
となり， $\alpha=5$ となり，このとき
$B'(5)=\dfrac{15}{4}$
となるので，求める $u$ の最小値は $\dfrac{15}{4}$ となる．