[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1970年(昭和45年)東京大学-数学(理科)[1]

2024.02.24記

[1] $i$ を虚数単位とし $a=\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}$ とおく．
また $n$ はすべての自然数にわたって動くとする．このとき，

(1) $a^n$ は何個の異なる値をとり得るか．

(2) $\dfrac{(1-a^n)(1-a^{2n})(1-a^{3n})(1-a^{4n})(1-a^{5n})} {(1-a)(1-a^2)(1-a^3)(1-a^4)(1-a^5)}$ の値を求めよ．

2024.02.24記

[解答]
(1) mod 6 で
$n\equiv 0$ ならば $a^n=1$ ，
$n\equiv 1$ ならば $a^n=a$ ，
$n\equiv 2$ ならば $a^n=-\bar{a}$ ，
$n\equiv 3$ ならば $a^n=-1$ ，
$n\equiv 4$ ならば $a^n=-a$ ，
$n\equiv 5$ ならば $a^n=\bar{a}$
であるから， $a^n$ は $6$ 個の異なる値をとりうる．

(2) $n\equiv 0$ ならば $a^n=1$ ，
$n\equiv 2$ ならば $a^{3n}=1$ ，
$n\equiv 3$ ならば $a^{2n}=1$ ，
$n\equiv 4$ ならば $a^{3n}=1$
であるから，これらの場合， $(与式)=0$ となる．

$n\equiv 1$ の場合， $(与式)=1$ となる．

$n\equiv 5$ の場合，
$a^n=a^5$ ， $a^{3n}=a^3$ ， $a^{2n}=a^4$ ， $a^{4n}=a^2$ ， $a^{5n}=a$
であるから， $(与式)=1$ となる．