[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1970年(昭和45年)東京大学-数学(理科)[2]

2024.02.24記

[2] $x$ 軸上原点から出発し，貨幣を投げて表がでたら右へ1だけ進み，裏がでたら左へ $1$ だけ進むことにする．

(1) これを4回くりかえしたとき $x=0$ ， $\pm1$ ， $\pm2$ ， $\pm3$ ， $\pm4$ の各点にいる確率を求めよ．

(2) 一般にこれを $n$ 回くりかえしたとき $x=n-2$ にいる確率と $x=n-4$ にいる確率とを求めよ．

2024.02.24記

[解答]
(1) 4回投げたときに表と裏の出る回数の差は偶数であるから， $x=\pm1$ ， $\pm3$ にいる確率は $0$ である．また，パスカルの三角形の4段目が $1，4，6，4，1$ となることから，
$x=-4$ ， $-2$ ， $0$ ， $2$ ， $4$ の各点にいる確率は順番に
$\dfrac{1}{16}，\dfrac{4}{16}，\dfrac{6}{16}，\dfrac{4}{16}，\dfrac{1}{16}$
である．

(2) (1) と同様にして
$x=n-2$ にいる確率は $\dfrac{{}_n\mbox{C}_1}{2^n}=\dfrac{n}{2^n}$ ，
$x=n-4$ にいる確率は $\dfrac{{}_n\mbox{C}_2}{2^n}=\dfrac{n(n-1)}{2^{n+1}}$
である．