1971年(昭和46年)東京大学-数学(理科)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[3] 与えられた実数係数の整式 $f(x)$ について
$\displaystyle \int_{0}^{1} f(x)\,dx=2, \quad \int_{0}^{1} xf(x)\,dx=3$
となるとする．そのとき，
$\displaystyle \int_{0}^{1} \{ f(x)-ax-b \}^2 \,dx$
の値を最小にする実数 $a$ および $b$ の値を求めよ．

本問のテーマ

Legendre 多項式(2020.09.16)
2次元連続データの回帰直線(2023.08.09)

2020.09.16記

Legendre 多項式

[大人の解答]
$n$ 次のLegendre 多項式を $P_n(t)$ とする．
$t=2x-1$ とおき、 $g(t)=f(x)$ とすると
$g(t)=\alpha_0 P_0(t) +\alpha_1 P_1(t)+\alpha_2 P_2(t)+\cdots$
のように Legendre 多項式で展開でき，このとき，
$\displaystyle\int_{-1}^1 g(t) dt = 4$ ， $\displaystyle\int_{-1}^1 t g(t) dt = 8$ ，
および $\displaystyle\int_{-1}^1 P_m(t)P_n(t) dt = \dfrac{2}{2n+1}\delta_{mn}$ から，
$2\alpha_0=4$ ， $\dfrac{2}{3}\alpha_1=8$
が成立する．よって
$\displaystyle\int_{-1}^1 \{g(t)-pt-q\}^2 dt$
の値を最小にする $pt+q$ は $2P_0(t)+12P_1(t)=12t+2=24x-10$ だから，
$a=24,b=-10$ である．

なお，ずらし Legendre 多項式
$\tilde{P}_0(x)=1$ ， $\tilde{P}_1(x)=2x-1$ ，…
を利用すると
$f(x)=\beta_0 \tilde{P}_0(x) +\beta_1 \tilde{P}_1(x)+\beta_2 \tilde{P}_2(x)+\cdots$
のように展開でき，このとき，
$\displaystyle\int_0^1 \tilde{P}_0(x) f(x) dx =2$ ， $\displaystyle\int_0^1 \tilde{P}_1(x) f(x) dx =2\times 3-2=4$ ，
および $\displaystyle\int_{0}^1 \tilde{P}_m(x)\tilde{P}_n(x) dt = \dfrac{1}{2n+1}\delta_{mn}$ から，
$\beta_0=2$ ， $\dfrac{1}{3}\beta_1=4$
が成立する．よって
$\displaystyle\int_{0}^1 \{f(x)-ax-b\}^2 dt$
の値を最小にする $ax+b$ は $2\tilde{P}_0(t)+12\tilde{P}_1(t)=24x-10$ だから， $a=24,b=-10$ である，となる．

2023.08.09記（2024.01.08修正）

連続2次元データの回帰直線 - 球面倶楽部零八式 mark II

[大人の解答]
連続2次元データ $(x,y)$ （ $y=f(x)$ ）に対して， $y$ の $x$ への回帰直線が $y=ax+b$ である．

よって
$a=\dfrac{\mbox{Cov}[x,y]}{V[x]}$ ， $b=E[y]-aE[x]$
が成立する．

$E[x]=\dfrac{1}{1-0}\displaystyle\int_0^1 x dx=\dfrac{1}{2}$ ，
$E[x^2]=\dfrac{1}{1-0}\displaystyle\int_0^1 x^2 dx=\dfrac{1}{3}$ ，
$V[x]=E[x^2]-(E[x])^2=\dfrac{1}{12}$
であり，
$E[y]=\dfrac{1}{1-0}\displaystyle\int_0^1 f(x) dx=2$ ，
$E[xy]=\dfrac{1}{1-0}\displaystyle\int_0^1 xf(x) dx=3$ ，
$\mbox{Cov}[x,y]=E[xy]-E[x]E[y]=3-\dfrac{1}{2}\cdot 2=2$
であるから，求める回帰直線は
$y=\dfrac{\mbox{Cov}[x,y]}{V[x]}(x-E[x])+E[y]$ $=\dfrac{2}{1/12}\left(x-\dfrac{1}{2}\right)+2$ $=24x-10$
となり， $a=24,b=-10$ である．