1971年(昭和46年)東京大学-数学(理科)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[4] $x$ の整式
$f_n(x)=1+\dfrac{x}{1 \, !}+\dfrac{x^2}{2 \, !}+\cdots+\dfrac{x^n}{n \, !}$ （ $n=1，2，\cdots$ ）
について
$f_n ' (x)=f_{n-1}(x)$ （ $n=2，3，\cdots$ ）
が成り立つことを証明せよ．

方程式 $f_n(x)=0$ は， $n$ が奇数ならばただ1つの実根をもち， $n$ が偶数ならば実根をもたないことを数学的帰納法をもちいて証明せよ．

2021.10.08記

$\exp x$ のマクローリン展開．

[解答]

$f'_n(x)=0+\dfrac{1}{1 \, !}+\dfrac{2x}{2 \, !}+\cdots+\dfrac{nx^{n-1}}{n \, !}$
$=1+\dfrac{x}{1 \, !}+\cdots+\dfrac{x^{n-1}}{(n-1) \, !}=f_{n-1}(x)$
である．

方程式 $f_n(x)=0$ は， $n$ が奇数ならばただ1つの実根をもち， $n$ が偶数ならば実根をもたないことを数学的帰納法をもちいて証明する．

$n=1$ のとき $f_1(x)=1+x$ はただ1つの実根をもつので題意が成立する．
$n=2$ のとき $f_1(x)=1+x+\dfrac{x^2}{2}=\dfrac{1}{2}(x+1)^2+\dfrac{1}{2}$ は実根をもたないので題意が成立する．

$n=2k-1,2k$ で題意が成立すると仮定する．

$n=2k+1$ のとき， $f'_{2k+1}(x)=f_{2k}(x)$ は仮定より実根をもたないので定符号であり， $\displaystyle\lim_{x\to\infty}f_{2k}(x)=+\infty$ だから常に正である．つまり $f_{2k+1}$ は単調増加である．
ここで
$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f_{2k+1}(x)=-\infty$ ， $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f_{2k+1}(x)=+\infty$ であるから，中間値の定理により $f_{2k+1}(x)=0$ となる実数は唯一である．

$n=2k+2$ のとき， $f'_{2k+2}(x)=f_{2k+1}(x)$ は仮定より実根がただ1つであり，それを $\alpha$ とおくと， $f_{2k+2}(x)=f'_{2k+2}(x)+\dfrac{x^{2k+2}}{(2k+2)\, !}$ だから
$f_{2k+2}(\alpha)=\dfrac{\alpha^{2k+2}}{(2k+2)\, !}>0$ をみたす．