[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1999-01-11

1999年(平成11年)東京大学前期-数学(文科)[3]

2024.02.11記

[3] $c$ を $c\gt \dfrac{1}{4}$ を満たす実数とする． $xy$ 平面上の放物線 $y=x^2$ を $A$ とし，
直線 $y=x-c$ に関して $A$ と対称な放物線を $B$ とする．点 $\mbox{P}$ が放物線 $A$ 上を動き，点 $\mbox{Q}$ が放物線 $B$ 上を動くとき，線分 $\mbox{PQ}$ の長さの最小値を $c$ を用いて表せ．

2021.01.13記

[解答]
$A$ と $y=x-c$ 上の点との最短距離の2倍が $\rm PQ$ の最小値．

$A$ の点 $\Bigl(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4}\Bigr)$ における接線は $y=x-\dfrac{1}{4}$
だから，求める最小値は、直線 $y=x-\dfrac{1}{4}$ と $y=x-c$ の距離の2倍で
$\sqrt{2}\Bigl(c-\dfrac{1}{4}\Bigr)$ （∵ $c\gt\dfrac{1}{4}$ ）