1995年(平成7年)東京大学前期-数学(理科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2021.10.06記

[1] すべての正の実数 $x$ ， $y$ に対し $\sqrt{x}+\sqrt{y} \leqq k\sqrt{2x+y}$ が成り立つような実数 $k$ の最小値を求めよ．

2021.10.06記
Twitter でみた

有名問題の別解が思いつきました。
みなさんと共有できれば嬉しいです(^^) pic.twitter.com/pE8m2cixrG
— 吉原修一郎 (@yoshihara_math) 2021年10月5日

良く考えれば、Cauchy-Schwarz の不等式で証明できるのだから、原点と直線の距離の公式でも証明できるのは当然なのだが、思いつかなかったよ。すごいな。

ちなみに，原点と直線の距離の公式の証明は
$(x,y)\in ax+by=c$
のとき，Cauchy-Schwarz の不等式から
$(a^2+b^2)(x^2+y^2)\geqq (ax+by)^2=c^2$
となるので，
$x^2+y^2\geqq \dfrac{c^2}{a^2+b^2}$
が得られ， $x^2+y^2$ の最小値として原点と直線の距離が得られる．

この証明と上記 twitter の解答を比較すると Cauchy-Schwarz の不等式による証明を復元することができるであろう．

ちなみに，点と直線の距離の公式の証明は色々あるが，あまり知られていない方法として
円 $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=d^2$ 上の点 $\left(x_0+\dfrac{ad}{\sqrt{a^2+b^2}},y_0+\dfrac{bd}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)$ における接線の方程式が
$\dfrac{ad}{\sqrt{a^2+b^2}}(x-x_0)+\dfrac{bd}{\sqrt{a^2+b^2}}(y-y_0)=d^2$
である，つまり整理して
$ax+by-\left(ax_0+by_0+\sqrt{a^2+b^2} d\right)$
となることから，
点 $(x_0,y_0)$ と直線 $ax+by+c=0$ との符号付き距離 $d$ は
$c=-\left(ax_0+by_0+\sqrt{a^2+b^2} d\right)$
つまり
$d=-\dfrac{ax_0+by_0+c}{\sqrt{a^2+b^2}}$
となる、というものがある．

2024.01.13記

[解答]
コーシー・シュワルツの不等式により
$\left(\dfrac{1}{2}+1\right)(2x+y)\geqq (\sqrt{x}+\sqrt{y})^2$
が成立するので，すべての正の実数 $x$ ， $y$ に対し
$\sqrt{x}+\sqrt{y} \leqq \sqrt{\dfrac{3}{2}}\cdot\sqrt{2x+y}$
が成立する（等号は $x:y=1:4$ のとき）ので，求める $k$ の最小値は $\sqrt{\dfrac{3}{2}}$ である．

[別解]
$t=\dfrac{x}{y}$ とおくと $t\gt 0$ であるから，
$\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{2x+y}}$ $\dfrac{\sqrt{t}+1}{\sqrt{2t+1}}:=f(t)$
の $t\gt 0$ における最大値が $k$ となる．

$f'(t)=\dfrac{1-2\sqrt{t}}{2(2t+1)\sqrt{t}\sqrt{2t+1}}$
により， $f(t)$ は $t=\dfrac{1}{4}$ で極大かつ最大となり最大値 $\dfrac{\sqrt{6}}{2}$ をとる．