1972年(昭和47年)東京大学-数学(理科)[6] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.09記

[6] 図の長方形 $\mbox{AB}\mbox{P}_1\mbox{P}_5$ はある国境の町をあらわし，各線分は道路をあらわす．図の地点 $\mbox{P}_1$ ， $\mbox{P}_2$ ， $\cdots$ ， $\mbox{P}_9$ には外国への通路が開かれている．いま，ある犯人が $\mbox{B}$ から外国に向って逃走しようとしているが，この犯人は $\mbox{P}_j$ （ $1\leqq j\leqq 9$ ）以外の各交差点（ $\mbox{B}$ を含む）において，確率 $\dfrac{1}{2}$ ずつで真東または北東に通路をえらぶ．この犯人を捕えるために $3$ 人の警官を $\mbox{P}_j$ （ $1\leqq j\leqq 9$ ）のうちの適当な $3$ 地点に配置しようとする．どの $3$ 点に配置すれば，犯人を捕える確率 $p$ が最大となるか．また，そのときの $p$ の最大値を小数第 $2$ 位まで求めよ．ただし，犯人は警官に出会わないで国境の地点に達すれば，無事に逃げおおせるものとする．

2023.08.09記

[解答]
$\mbox{P}_1$ にたどりつく確率は $\dfrac{{}_8\mbox{C}_0}{2^8}$ $=\dfrac{1}{2^8}$ ，
$\mbox{P}_2$ にたどりつく確率は $\dfrac{{}_8\mbox{C}_1}{2^8}$ $=\dfrac{8}{2^8}$ ，
$\mbox{P}_3$ にたどりつく確率は $\dfrac{{}_8\mbox{C}_2}{2^8}$ $=\dfrac{28}{2^8}$ ，
$\mbox{P}_4$ にたどりつく確率は $\dfrac{{}_8\mbox{C}_3}{2^8}$ $=\dfrac{56}{2^8}$ ，
$\mbox{P}_5$ にたどりつく確率は $\dfrac{{}_7\mbox{C}_3}{2^7}\cdot\dfrac{1}{2}$ $=\dfrac{35}{2^8}$ ，
$\mbox{P}_6$ にたどりつく確率は $\dfrac{{}_6\mbox{C}_3}{2^6}\cdot\dfrac{1}{2}$ $=\dfrac{40}{2^8}$ ，
$\mbox{P}_7$ にたどりつく確率は $\dfrac{{}_5\mbox{C}_2}{2^5}\cdot\dfrac{1}{2}$ $=\dfrac{40}{2^8}$ ，
$\mbox{P}_8$ にたどりつく確率は $\dfrac{{}_4\mbox{C}_1}{2^4}\cdot\dfrac{1}{2}$ $=\dfrac{32}{2^8}$ ，
$\mbox{P}_9$ にたどりつく確率は $\dfrac{{}_3\mbox{C}_0}{2^3}\cdot\dfrac{1}{2}$ $=\dfrac{16}{2^8}$
であるから，
$\mbox{P}_4$ ， $\mbox{P}_6$ ， $\mbox{P}_7$ に警官を配置すれば良く，このときの犯人をつかまえる確率は $\dfrac{136}{2^8}=\dfrac{136}{2^8}=\dfrac{17}{32}=0.53125$
となるので，求める答は $0.53$ となる．