1972年(昭和47年)東京大学-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.09記

[1] 空間に座標系が定められていて， $z$ 軸上に $2$ 点 $\rm A(0,0,6)$ ， $\rm B(0,0,20)$ が与えられている． $xy$ 平面上の点 ${\rm P}(x,y,0)$ で， $0\leqq x\leqq 15$ ， $0\leqq y\leqq 15$ ， $\angle{\rm APB}\geqq 30^{\circ}$ を満たすものの全体が作る図形の面積を求めよ．

[2] 平面上の三角形 $\rm ABC$ において，頂点 $\rm A$ を通り辺 $\rm AB$ ， $\rm AC$ に垂直な直線をそれぞれ $h$ ， $k$ とする． $\rm B$ の $k$ に関する対称点を ${\rm B}'$ ， $\rm C$ の $h$ に関する対称点を ${\rm C}'$ とする．ベクトル $\mathbf{b}=\vec{\rm AB}$ ， $\mathbf{c}=\vec{\rm AC}$ ， $\mathbf{b'}=\vec{{\rm AB}'}$ ， $\mathbf{c'}=\vec{{\rm AC}'}$ の間に $\mathbf{b'}=\mathbf{b}+\mathbf{c}$ ， $\mathbf{c'}=m\mathbf{b}+\mathbf{c}$ （ $m$ は正の整数）， $|\mathbf{b}|=1$ が成り立つとき， $m$ ， $\angle\rm BAC$ ，および $|\mathbf{c}|$ を求めよ．ただし $|\mathbf{a}|$ はベクトル $\mathbf{a}$ の長さをあらわす．また $0\lt \angle\rm BAC\lt\pi$ とする．

[3] $k$ を実数の定数， $f(x)=x^2(x+8)$ ， $g(x)=(x^2-1)(x+4)$ とするとき， $x$ に関する方程式 $f(x)-kg(x)=0$ の相異なる実根の個数を求めよ．

[4] たがいに外接する定円 $\mbox{C}$ ， $\mbox{C}'$ が共通接線 $l$ の同じ側にあるとする．
図（省略）のように
$\mbox{C}$ ， $\mbox{C}'$ ， $l$ に接する円を $\mbox{C}_1$ ，
$\mbox{C}$ ， $\mbox{C}_1$ ， $l$ に接する円を $\mbox{C}_2$ ，
$\cdots\cdots$
$\mbox{C}$ ， $\mbox{C}_{n-1}$ ， $l$ に接する円を $\mbox{C}_n$
とする．
このとき円 $\mbox{C}_n$ の半径を $r_n$ として，
極限値 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}n^2r_n$ を，
円 $\mbox{C}$ の半径 $\mbox{R}$ と円 $\mbox{C}'$ の半径 $\mbox{R}'$ とを用いてあらわせ．

[5] $h(x)$ は $-\infty\lt x\lt \infty$ で $2$ 回微分可能なある関数で， $f(x)$ がどのような一次関数であっても，
$\displaystyle u(x)=\int_{0}^{x} h(t)f(t)\,dt+ h(x)\int_{x}^{1} f(t)\,dt$
おけば，
(1) $\dfrac{d^2u}{dx^2}=f(x)$
および
(2) $u(0)=0$
が成り立つ．

このとき， $h(x)$ を求めよ．

[6] 図の長方形 $\mbox{AB}\mbox{P}_1\mbox{P}_5$ はある国境の町をあらわし，各線分は道路をあらわす．図の地点 $\mbox{P}_1$ ， $\mbox{P}_2$ ， $\cdots$ ， $\mbox{P}_9$ には外国への通路が開かれている．いま，ある犯人が $\mbox{B}$ から外国に向って逃走しようとしているが，この犯人は $\mbox{P}_j$ （ $1\leqq j\leqq 9$ ）以外の各交差点（ $\mbox{B}$ を含む）において，確率 $\dfrac{1}{2}$ ずつで真東または北東に通路をえらぶ．この犯人を捕えるために $3$ 人の警官を $\mbox{P}_j$ （ $1\leqq j\leqq 9$ ）のうちの適当な $3$ 地点に配置しようとする．どの $3$ 点に配置すれば，犯人を捕える確率 $p$ が最大となるか．また，そのときの $p$ の最大値を小数第 $2$ 位まで求めよ．ただし，犯人は警官に出会わないで国境の地点に達すれば，無事に逃げおおせるものとする．