1972年(昭和47年)東京大学-数学(文科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.09記

[1] 空間に座標系が定められていて， $z$ 軸上に $2$ 点 $\rm A(0,0,6)$ ， $\rm B(0,0,20)$ が与えられている． $xy$ 平面上の点 ${\rm P}(x,y,0)$ で， $0\leqq x\leqq 15$ ， $0\leqq y\leqq 15$ ， $\angle{\rm APB}\geqq 30^{\circ}$ を満たすものの全体が作る図形の面積を求めよ．

[2] 平面上の三角形 $\rm ABC$ において，頂点 $\rm A$ を通り辺 $\rm AB$ ， $\rm AC$ に垂直な直線をそれぞれ $h$ ， $k$ とする． $\rm B$ の $k$ に関する対称点を ${\rm B}'$ ， $\rm C$ の $h$ に関する対称点を ${\rm C}'$ とする．ベクトル $\mathbf{b}=\vec{\rm AB}$ ， $\mathbf{c}=\vec{\rm AC}$ ， $\mathbf{b'}=\vec{{\rm AB}'}$ ， $\mathbf{c'}=\vec{{\rm AC}'}$ の間に $\mathbf{b'}=\mathbf{b}+\mathbf{c}$ ， $\mathbf{c'}=m\mathbf{b}+\mathbf{c}$ （ $m$ は正の整数）， $|\mathbf{b}|=1$ が成り立つとき， $m$ ， $\angle\rm BAC$ ，および $|\mathbf{c}|$ を求めよ．ただし $|\mathbf{a}|$ はベクトル $\mathbf{a}$ の長さをあらわす．また $0\lt \angle\rm BAC\lt\pi$ とする．

[3] 複素数 $z$ ， $w$ の間に $w=z^2$ なる関係があり，複素平面において点 $z$ は四点 $1+i$ ， $2+i$ ， $2+2i$ ， $1+2i$ を頂点とする正方形の内部を動くものとする．このとき，複素平面において，点 $w$ の動く範囲の面積を求めよ．

ただし， $i$ は虚数単位をあらわす．

[4] たがいに外接する定円 $\mbox{C}$ ， $\mbox{C}'$ が共通接線 $l$ の同じ側にあるとする．
図（省略）のように
$\mbox{C}$ ， $\mbox{C}'$ ， $l$ に接する円を $\mbox{C}_1$ ，
$\mbox{C}$ ， $\mbox{C}_1$ ， $l$ に接する円を $\mbox{C}_2$ ，
$\cdots\cdots$
$\mbox{C}$ ， $\mbox{C}_{n-1}$ ， $l$ に接する円を $\mbox{C}_n$
とする．
このとき円 $\mbox{C}_n$ の半径を $r_n$ として，
極限値 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}n^2r_n$ を，
円 $\mbox{C}$ の半径 $\mbox{R}$ と円 $\mbox{C}'$ の半径 $\mbox{R}'$ とを用いてあらわせ．