1972年(昭和47年)東京大学-数学(理科)[5] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[5] $h(x)$ は $-\infty\lt x\lt \infty$ で $2$ 回微分可能なある関数で， $f(x)$ がどのような一次関数であっても，
$\displaystyle u(x)=\int_{0}^{x} h(t)f(t)\,dt+ h(x)\int_{x}^{1} f(t)\,dt$
おけば，
(1) $\dfrac{d^2u}{dx^2}=f(x)$
および
(2) $u(0)=0$
が成り立つ．

このとき， $h(x)$ を求めよ．

2021.10.10記

[解答]

(1)を2回微分すると，
$\displaystyle u'(x)=h(x)f(x)+h'(x)\int_{x}^{1} f(t)\,dt-h(x)f(x)=h'(x)\int_{x}^{1} f(t)\,dt$ ，
$\displaystyle u''(x)=h''(x)\int_{x}^{1} f(t)\,dt-h'(x)f(x)$
となるので
$\displaystyle f(x)=h''(x)\int_{x}^{1} f(t)\,dt-h'(x)f(x)$
が任意の1次関数 $f(x)$ について成立する．よって， $f(x)=1,x$ のときに成立することが必要であり，
$\displaystyle 1=h''(x)\int_{x}^{1} 1\,dt-h'(x)$ ， $\displaystyle x=h''(x)\int_{x}^{1} t\,dt-xh'(x)$
が成立することが必要であるが，定積分の線型性により，この2つが成立すれば任意の1次関数についても成立するので必要十分．よって，任意の $x$ について
$\displaystyle 1=h''(x)(1-x)-h'(x)$ …(i)， $\displaystyle x=h''(x)\dfrac{1-x^2}{2}-xh'(x)$ …(ii)
が成立する． $2x\times$ (i) $-2\times$ (ii) より，
$h''(x)(2x-1)=0$
が任意の $x$ について成立するので， $h''(x)=0$ となり，(i)から $h'(x)=-1$ となる．
(2)より $h(0)=0$ だから， $h(x)=-x$ となる．