[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1974年(昭和49年)東京大学-数学(文科)

2023.08.09記

[1] 自然数 $n$ ， $p$ に対し， $n^p$ を十進法で書いたときの $1$ の位の数を $f_p(n)$ で表わす．ただし，自然数とは， $1$ ， $2$ ， $3$ ， $\cdots\cdots$ のことである．

(1) $n$ が自然数の全体を動くとき， $f_2(n)$ の取る値を全部求めよ．

(2) あらゆる自然数 $n$ に対して， $f_5(n)=f_1(n)$ が成りたつことを証明せよ．

(3) $n$ が自然数の全体を動くとき， $f_{100}(n)$ の取る値を全部求めよ．

[2] 長さ $l$ の線分が，その両端を放物線 $y=x^2$ の上にのせて動く．この線分の中点 $\mbox{M}$ が $x$ 軸にもっとも近い場合の $\mbox{M}$ の座標を求めよ．ただし $l\geqq 1$ とする．

[3] 半径 $a$ の球から，鉛直で球の中心を通る軸をもつ円柱状の部分をくり抜き，残った環状部分の高さが $2h$ になるようにする．この環状部分の体積を求めよ．ただし， $a\gt h$ とする．

[4] $\alpha\gt 0$ とし， $xy$ 平面上において，不等式 $y\leqq\dfrac{-1}{\alpha^2}x^2+\dfrac{2\alpha-1}{\alpha^2}x-1+\dfrac{1}{\alpha}$
をみたす点 $(x,y)$ 全体からなる集合を $A$ とする． $A$ と第一象限との共通部分を $B$ とするとき， $B$ の面積を $\alpha$ の関数として表わし，そのグラフを描け．

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