[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1974年(昭和49年)東京大学-数学(文科)[4]

2023.08.11記

[4] $\alpha\gt 0$ とし， $xy$ 平面上において，不等式 $y\leqq\dfrac{-1}{\alpha^2}x^2+\dfrac{2\alpha-1}{\alpha^2}x-1+\dfrac{1}{\alpha}$
をみたす点 $(x,y)$ 全体からなる集合を $A$ とする． $A$ と第一象限との共通部分を $B$ とするとき， $B$ の面積を $\alpha$ の関数として表わし，そのグラフを描け．

2023.08.11記

[解答]
与不等式は
$y\leqq \dfrac{1}{\alpha^2}(x-(\alpha-1))(x-\alpha)$
となるので，

(i) $0\lt \alpha\lt 1$ のとき
$B$ の面積は
$\displaystyle\int_0^{\alpha} \dfrac{1}{\alpha^2}(x-(\alpha-1))(x-\alpha) dx$
$=\dfrac{1}{2}\cdot\alpha\cdot\dfrac{1-\alpha}{\alpha}+\dfrac{1}{6\alpha^2}\cdot\alpha^3$
$=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\alpha}{3}$
となる．

(ii) $\alpha\geqq 1$ のとき
$B$ の面積は
$\dfrac{1}{6\alpha^2}\cdot 1^3=\dfrac{1}{6\alpha^2}$
となる．

以上を図示して次図を得る．