1977年(昭和52年)東京大学-数学( 文科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.16記

[1] $k$ を実数の定数とするとき， $x$ の関数 $f(x)=|x^3-3kx|$ が $-1\leqq x\leqq 1$ の範囲でとる最大値を $M(k)$ で表す． $k$ が実数全体を動くとき， $M(k)$ が最小となる $k$ の値および $M(k)$ の最小値を求めよ．

[2]（新課程） $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=I$ ， $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}=J$ と書く．行列 $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ と実数 $t$ に対し
$A(I-tJ)=I+tJ$ という関係が成り立つとき， $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ を $t$ の式で表せ．

また $t$ が実数全体を動くとき，関係 $\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix} 3 \\ 4\end{pmatrix}$ で定まる点 $(x,y)$ が動いてできる図形を求め，これを図示せよ．

[2]（旧課程） $\theta_1$ ， $\theta_2$ ， $\theta_3$ ， $\theta_4$ ， $\theta_5$ を正の数とする．図のように円に内接する $5$ 角形 $\mbox{A}_1\mbox{A}_2\mbox{A}_3\mbox{A}_4\mbox{A}_5$ で， $1\leqq i\leqq 5$ に対し角 $\mbox{A}_i$ の大きさが $\theta_i$ となるものが存在するためには，
$\theta_1+\theta_2+\theta_3+\theta_4+\theta_5=3\pi$ ， $\theta_1+\theta_3\gt\pi$ ， $\theta_2+\theta_4\gt\pi$ ， $\theta_3+\theta_5\gt\pi$ ， $\theta_1+\theta_4\gt\pi$ ， $\theta_2+\theta_5\gt\pi$
が同時に成り立つことが必要かつ十分であることを証明せよ．

[3] $xy$ 平面上に，不等式で表される $3$ つの領域
$A:x\geqq0$ ， $B:y\geqq0$ ， $C:\sqrt{3}x+y\leqq\sqrt{3}$
をとる．いま任意の点 $\mbox{P}$ に対し， $\mbox{P}$ を中心として $A$ ， $B$ ， $C$ のどれか
少くとも $1$ つに含まれる円を考える．このような円の半径の最大値は点 $\mbox{P}$ によって定まるから，これを $r(\mbox{P})$ で表すことにする．