[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1987年(昭和62年)東京大学-数学(文科)

2023.08.29記

[1] 行列 $X=\begin{pmatrix} x & z \\ z & y \end{pmatrix}$ が条件
$X^2-4X+\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$
をみたすとき，このような $x$ ， $y$ を座標とする点 $(x,y)$ が存在する範囲を図示せよ．ただし，行列の成分は実数とする．

[2] $a$ を正の定数とし， $x$ の関数 $f(x)=x^3-ax^2-a^2x$ のグラフを $\mbox{C}$ とする． $f(x)$ が極大となる $x$ の値を $b$ とするとき，点 $(b,f(b))$ における $\mbox{C}$ の接線と $\mbox{C}$ とによって囲まれる部分の面積を $a$ で表せ．

[3] $t$ の関数 $f(t)$ を $f(t)=1+2at+b(2t^2-1)$ とおく．区間 $-1\leqq t\leqq 1$ のすべての $t$ に対して $f(t)\geqq 0$ であるような $a$ ， $b$ を座標とする点 $(a,b)$ の存在する範囲を図示せよ．

[4] 三つの実数 $x$ ， $y$ ， $z$ のうち最大の数を $\max(x,y,z)$ で表し，最小の数を $\min(x,y,z)$ で表す．いま，次の条件をみたす $x$ ， $y$ ， $z$ を座標とする点全体の集合を $\mbox{R}$ とする．

$x\geqq0, \quad y\geqq0, \quad z\geqq0$
$\max(x,y,z) \leqq a$
$x+y+z-\min(x,y,z) \leqq a+b$

$\mbox{R}$ の体積を求めよ．ただし， $a$ ， $b$ は定数で， $a\gt b\gt 0$ とする．

1987年(昭和62年)東京大学-数学(文科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
1987年(昭和62年)東京大学-数学(文科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
1987年(昭和62年)東京大学-数学(文科)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
1987年(昭和62年)東京大学-数学(文科)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR