1975年(昭和50年)東京大学-数学(文科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.11記

[1] 三角形 $\mbox{ABC}$ において， $\mbox{BC}=32$ ， $\mbox{CA}=36$ ， $\mbox{AB}=25$ とする．この三角形の二辺の上に両端をもつ線分 $\mbox{PQ}$ によって，この三角形の面積を二等分する．そのような $\mbox{PQ}$ の長さが最短になる場合の， $\mbox{P}$ と $\mbox{Q}$ の位置を求めよ．

[2] $k$ ， $l$ ， $m$ ， $n$ は負でない整数とする． $0$ でないすべての $x$ に対して等式 $\dfrac{(x+1)^k}{x^l}-1=\dfrac{(x+1)^m}{x^n}$ を成り立たせるような $k$ ， $l$ ， $m$ ， $n$ の組を求めよ．

[3] 二つの放物線 $y=x^2$ と $y=-{(x-a)}^2+b$ とによって囲まれる図形の面積が $\dfrac{1}{3}$ となるための必要十分条件を $a$ ， $b$ を用いて表せ．

[4] $xy$ 平面内の曲線 $x=f(y)$ （ $f(y)$ は正の値をとる関数とする）と直線 $y=2$ および $x$ 軸， $y$ 軸で囲まれる図形を $y$ 軸のまわりに回転してできる立体から， $y$ 座標が $2$ の $y$ 軸上の点を中心とする半径 $1$ の球との共通部分をくりぬいた残りの立体を $\mbox{A}$ とする．
立体 $\mbox{A}$ の $y\leqq t$ にあたる部分の体積 $V(t)$ が
$V(t)=\left\{\begin{array}{ll}\dfrac{2}{3}\pi(t^2+t) & (0 \leqq t \leqq 1) \\ \pi \left( \dfrac{1}{3}t^3 -\dfrac{3}{2}t^2+4t-\dfrac{3}{2} \right) & (1\lt t\leqq2) \end{array} \right.$
であるとき，関数 $f(y)$ （ $0\leqq y\leqq 2$ ）を定めて， $\mbox{A}$ の $xy$ 平面による断面の図形をえがけ．