1978年(昭和53年)東京大学-数学(理科)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.10.14記

[3] $C$ を放物線 $y=\dfrac{3}{2}x^2-\dfrac{1}{3}$ とする． $C$ 上の点 ${\rm Q}\Bigl(t，\dfrac{3}{2}t^2-\dfrac{1}{3}\Bigr)$ を通り， $\rm Q$ における $C$ の接線と垂直な直線を， $\rm Q$ における $C$ の法線という．

(1) $xy$ 平面上の点 ${\rm P}(x，y)$ で $\rm P$ を通る $C$ の法線が一本だけ引けるようなものの存在範囲を求め， $xy$ 平面上に図示せよ．

(2) (1)で求めた範囲と放物線の内部（不等式 $y\gt \dfrac{3}{2}x^2-\dfrac{1}{3}$ の定める範囲）の共通部分の面積を求めよ．

本問のテーマ

包絡線
放物線の縮閉線

2020.10.10記
縮閉線は法線の包絡線から得られる．

[大人の解答]
$\rm Q$ における法線の方程式 $2x+6ty-9t^3=0$ を $t$ で偏微分して $2y=9 t^2$ （ $y\geqq 0$ ）を得るので、
$t=\pm\dfrac{\sqrt{2y}}{3}$ となり，法線の式と連立させて法線の包絡線である縮閉線の方程式 $x\pm \dfrac{2\sqrt{2}y^{3/2}}{3}=0$ を得る．

法線の動きを追跡することにより、この曲線の下側が求める範囲となる．

面積は $\dfrac{88\sqrt{2}}{135}$ となる．

2020.10.12記
本問のテーマは「アポロニウスの最大最小問題」
アポロニウスの最大最小問題 - 球面倶楽部零八式 mark II

参考問題
2020年(令和2年)東京大学-数学(理科)[6] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.10.14記
アポロニウスの最大最小問題と縮閉線 - 球面倶楽部零八式 mark II

2023.08.18記

[解答]
$\rm Q$ における法線の方程式は $2x+6ty-9t^3=0$ となる．

この $t$ についての3次方程式が実数解をただ1つだけもつ条件を求めれば良い．
ここで $f(t)=9t^3-6yt-2x$ とおくと，その必要十分条件は

(i) $s=f(t)$ が極値をもたない
(ii) $s=f(t)$ が極大値と極小値をもつがそれらは同符号

のいずれかが成立することである．

$f'(t)=3(9t^2-2y)$ であるから，

(i) は $y\leqq 0$ と同値．

(ii) は $y\gt 0$ かつ
$f\left(-\dfrac{\sqrt{2y}}{3}\right)f\left(\dfrac{\sqrt{2y}}{3}\right)$
$=4\left(\dfrac{2\sqrt{2}}{3}y^{3/2}-x\right)\left(\dfrac{2\sqrt{2}}{3}y^{3/2}+x\right)$
$=4\left(\dfrac{8}{9}y^{3}-x^2\right)\gt 0$
と同値，つまり $0\lt y\lt \dfrac{\sqrt[3]{9x^2}}{2}$ と同値．

(i)(ii)を合わせて $y\lt \dfrac{\sqrt[3]{9x^2}}{2}$ となり，これを図示して次図を得る．

(2) $\dfrac{3/2}{6}\left(\dfrac{4\sqrt{2}}{3}\right)^3$ $-\displaystyle 2\int_0^{1} \dfrac{2\sqrt{2}}{3}y^{3/2}dy$
$=\dfrac{32\sqrt{2}}{27}$ $-\displaystyle 2\Bigl[ \dfrac{4\sqrt{2}}{15}y^{5/2} \Bigr]_0^{1}$
$=\dfrac{32\sqrt{2}}{27}$ $-\dfrac{8\sqrt{2}}{15}$ $=\dfrac{88\sqrt{2}}{135}$