1978年(昭和53年)東京大学-数学(理科)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.18記

[4] 行列 $A=\begin{pmatrix} 1/3 & 5\\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ に対し，次の問に答えよ．

任意の整数 $n>0$ に対して， $A^n$ を数学的帰納法を用いて求めよ．また，与えられた $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ に対し
$A^n\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_n \\ b_n \end{pmatrix}$ （ $n=1$ ， $2$ ， $\cdots$ ）
とおくとき，極限
$u=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{\sqrt{{a_n}^2+{b_n}^2}}$ ，
$v=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{b_n}{\sqrt{{a_n}^2+{b_n}^2}}$ を求めよ．
ただし $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\neq\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ とする．

本問のテーマ

冪乗法による最大固有値に対応する固有ベクトルの計算

2020.10.10記

冪乗法による最大固有値に対応する固有ベクトルの計算

$\vec{x}$ が最大固有値に対応する固有ベクトルの成分を含むとき、 $\dfrac{A^n\vec{x}}{||A^n\vec{x}||}$ の $n\to\infty$ の極限は最大固有値に対応する固有ベクトルになる．

三角行列の固有値は対角成分に並ぶ（c.f. シューアの標準形）

[大人の解答]
（後半のみ）

$A$ は上三角行列なので対角成分が固有値となり、それは $\dfrac{1}{3}，3$ である．
そしてそれぞれの固有値に対応する単位固有ベクトルは $\pm\begin{pmatrix} 1\\ 0\end{pmatrix}$ ， $\pm\begin{pmatrix} \dfrac{15}{17}\\ \dfrac{8}{17}\end{pmatrix}$ 　である．

よって求める値は、

(i) $a=0，b=0$ のとき $(u，v)=(0，0)$

(ii) $\begin{pmatrix} a\\ b\end{pmatrix}$ が　 $\begin{pmatrix} 1\\ 0\end{pmatrix}$ に平行なとき、極限は $\pm\begin{pmatrix} 1\\ 0\end{pmatrix}$ のいずれかとなる(極限の向きは初期ベクトルと同じ向き)．

つまり、 $a\gt 0，b=0$ のとき $(u，v)=(1，0)$
$a\lt 0，b=0$ のとき $(u，v)=(-1，0)$
となる．

(iii) それ以外の場合、極限は $\pm\begin{pmatrix} \dfrac{15}{17}\\ \dfrac{8}{17}\end{pmatrix}$ のいずれかとなる(極限の向きは初期ベクトルの $y$ 成分が同じ符号となるように選ばれる)．

つまり、 $b\gt 0$ のとき $(u，v)=\Bigl(\dfrac{15}{17}，\dfrac{8}{17}\Bigr)$ ，
$b\lt 0$ のとき $(u，v)=\Bigl(-\dfrac{15}{17}，-\dfrac{8}{17}\Bigr)$
となる．

ちなみに $A^n=\begin{pmatrix} 3^{-n} & \dfrac{15(3^n-3^{-n})}{8}\\ 0 & 3^n\end{pmatrix}$ である．

もうちょっと機械的にやると、
$\vec{p}=\begin{pmatrix} 1\\ 0\end{pmatrix}$ ， $\vec{q}=\begin{pmatrix} \dfrac{15}{17}\\ \dfrac{8}{17}\end{pmatrix}$
とおいて、
$\begin{pmatrix} a\\ b\end{pmatrix}=\alpha\vec{p}+\beta\vec{q}$ とおくと、
$\beta\neq 0$ ならば極限は $\mbox{sgn}(\beta)\vec{q}$ ，
$\beta=0$ ならば極限は $\mbox{sgn}(\alpha)\vec{p}$ となる．

2023.08.18記

[解答]
$A^n=\begin{pmatrix} 3^{-n} & \dfrac{15(3^n-3^{-n})}{8}\\ 0 & 3^n\end{pmatrix}$ であることを数学的帰納法で示す．

$n=1$ のとき
$A^1=\begin{pmatrix} 3^{-1} & \dfrac{15(8/3)}{8}\\ 0 & 3\end{pmatrix}=A$
より成立する．

$n=k$ のときの成立を仮定すると
$A^k=\begin{pmatrix} 3^{-k} & \dfrac{15(3^k-3^{-k})}{8}\\ 0 & 3^k\end{pmatrix}$ であり，このとき
$A^{k+1}=\begin{pmatrix} 3^{-k} & \dfrac{15(3^k-3^{-k})}{8}\\ 0 & 3^k\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3^{-1} & 5 \\ 0 & 3\end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} 3^{-k-1} & 3^{-k}\cdot 5+\dfrac{15(3^k-3^{-k})}{8}\cdot 3\\ 0 & 3^{k+1}\end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} 3^{-k-1} & \dfrac{40\cdot 3^{-k}+15\cdot 3^{k+1}-45\cdot 3^{-k}}{8} \\ 0 & 3^{k+1}\end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} 3^{-k-1} & \dfrac{15\cdot 3^{k+1}-5\cdot 3^{-k}}{8} \\ 0 & 3^{k+1}\end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} 3^{-k-1} & \dfrac{15(3^{k+1}-\cdot 3^{-k-1})}{8} \\ 0 & 3^{k+1}\end{pmatrix}$
より $n=k+1$ のときも成立する．

よって数学的帰納法により任意の自然数 $n$ について $A^n=\begin{pmatrix} 3^{-n} & \dfrac{15(3^n-3^{-n})}{8}\\ 0 & 3^n\end{pmatrix}$ である．

このとき， $a_n=\dfrac{1}{3^n}a+\dfrac{15}{8}\left(3^n-\dfrac{1}{3^n}\right)b$ ， $b_n=3^n b$ である．
ここで求める極限は $\begin{pmatrix} a_n \\ b_n \end{pmatrix}$ と同じ向きの単位ベクトルの極限であることに注意する．

(i) $b=0$ のとき， $a\neq 0$ であり， $a_n=\dfrac{a}{3^n}$ であるから，求める極限は $\begin{pmatrix} a/|a| \\ 0 \end{pmatrix}$ と同じ向きの単位ベクトルである．よって $a\gt 0$ のとき $u=1,v=0$ ， $a\lt 0$ のとき $u=-1,v=0$ となる．

(ii) $b\neq 0$ のとき
$\dfrac{1}{3^n}\begin{pmatrix} a_n \\ b_n \end{pmatrix}$ $\to\dfrac{1}{3^n}\begin{pmatrix} 15b/8 \\ b \end{pmatrix}$ であるから，求める極限は $\dfrac{b}{8}\begin{pmatrix} 15 \\ 8 \end{pmatrix}$ と同じ向きの単位ベクトルである．よって $b\gt 0$ のとき $u=\dfrac{15}{17},v=\dfrac{8}{17}$ ， $b\lt 0$ のとき $u=-\dfrac{15}{17},v=-\dfrac{8}{17}$ となる．