2020年(令和2年)東京大学-数学(理科)[6] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.10.14記

[6] 以下の問いに答えよ．

(1) $A$ ， $\alpha$ を実数とする． $\theta$ の方程式 $A\sin 2\theta-\sin(\theta+\alpha)=0$ を考える．
$A \gt 1$ のとき，この方程式は $0 \leqq \theta \lt 2\pi$ の範囲に少なくとも4個の解を持つことを示せ．

(2)座標平面上の楕円
$C: \dfrac{x^2}{2}+y^2=1$
を考える．また， $0\lt r\lt 1$ を満たす実数 $r$ に対して，不等式
$2x^2+y^2\lt r^2$
が表す領域を $D$ とする． $D$ 内のすべての点 ${\rm P}$ が以下の条件を満たすような実数 $r(0 \lt r\lt 1)$ が存在することを示せ．また，そのような $r$ の最大値を求めよ．

条件： $C$ 上の点 $\rm Q$ で， $\rm Q$ における $C$ の接線と直線 $\rm PQ$ が直交するようなものが少なくとも $4$ 個ある．

本問のテーマ

楕円の縮閉線

2020.02.26記

東大理系数学の解答用紙は第1、2問で1面、第3問で1面、第4、5問で1面、第6問で1面なので、第3問と第6問は面倒なのだ。

(2)は(1)の式に結びつけるにはどうするかを考える。

[解答]

(1) 左辺を $f(\theta)$ とおく。 $A\gt 1$ だから、
$f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\gt 0$ ， $f\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)\lt 0$ ， $f\left(\dfrac{5\pi}{4}\right)\gt 0$ ， $f\left(\dfrac{7\pi}{4}\right)\lt 0$ ， $f\left(\dfrac{9\pi}{4}\right)\gt 0$
なので、中間値の定理から、 $\dfrac{\pi}{4}\leq \theta\lt \dfrac{9\pi}{4}$ に少なくとも4つの実数解をもつ。
$f(\theta)$ は周期 $2\pi$ をもつので、 $0\leq \theta\lt 2\pi$ に少なくとも4つの実数解をもつ。

(2) $C$ 上の点 $\rm Q$ を $(\sqrt{2}\cos\theta,\sin\theta)$ とすると $\rm Q$ における接線は
$\dfrac{x\cos\theta}{\sqrt{2}}+y\sin\theta=1$
となる．よって直線 $\rm PQ$ は
$\sin\theta (x-\sqrt{2}\cos\theta)-\dfrac{\cos\theta}{\sqrt{2}}(y-\sin\theta)=0$
つまり
$x\sqrt{2}\sin\theta-y\cos\theta=\sin\theta\cos\theta$
となる．

$D$ 内の点は $\left(\dfrac{s\cos\alpha}{\sqrt{2}},s\sin\alpha\right)$
（但し $0\leqq s \lt r$ ）
とおけるので
$\dfrac{s\cos\alpha}{\sqrt{2}}\times\sqrt{2}\sin\theta-s\sin\alpha\cos\theta=\sin\theta\cos\theta$ ，
つまり
$\sin(\theta-\alpha)=\dfrac{1}{2s}\sin2\theta$
となる．

(1)により $0\lt r\leqq\dfrac{1}{2}$ ならば任意の $s,\alpha$ について条件をみたす．
$r$ の最大値が $\dfrac{1}{2}$ であることを言うには
$s=\dfrac{1}{2}$ のときには条件をみたさないような $\alpha$ が存在することを言えば良い．

つまり
$\sin(\theta-\alpha)=\sin2\theta$
の解が3つ以下となるような $\alpha$ が存在することを言えば良い．
$\sin 2\theta - \sin(\theta-\alpha)=2\cos\dfrac{3\theta-\alpha}{2}\sin\dfrac{\theta+\alpha}{2}=0$
より例えば $\alpha=\dfrac{\pi}{4}$ とすると
$\theta=\dfrac{5\pi}{12}，\dfrac{13\pi}{12}， \dfrac{7\pi}{4}$ の3つしか存在しない。
(cos の部分が0となる $\theta$ とsinの部分が0となる $\theta$ が重なるような $\alpha$ を探す)

よって $r$ の最大値は $\dfrac{1}{2}$ である．

2020.08.19記
Youtube に本問の解説動画があった。

www.youtube.com

[大人の解答]
(2) $C$ の縮閉線に $D$ が含まれるような $r$ の最大値が答となるので $C$ の縮閉線 $2^{1/3}x^{2/3}+y^{2/3}=1$ に $D$ が含まれるような $r$ の最大値を求めれば良い．

$X=\sqrt{2}x，Y=y$ とおくと，アステロイド $X^{2/3}+Y^{2/3}=1$ に原点中心の円 $X^2+Y^2\lt r^2$ が含まれるような $r$ の最大値を求めれば良く，それぞれの図形が $Y=\pm X$ について対称であることから，アステロイドと円が $|X|=|Y|=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}$ で接するときに最大となる．

このときの $r$ ( $0\lt r\lt 1$ )は $r=\dfrac{1}{2}$ である．

かぁ。これには気付かなかった。そういえば、ある曲線の縮閉線は、曲率円の中心の軌跡だけでなく、法線の包絡線にもなるんだった。

そこで法線の包絡線をうまく活かした解答を作る．
法線の包絡線上の点で $2x^2+y^2$ の値はどう変化することに着目するのだが、流石東大、簡単に求まるようになっている．

[大人の解答]
(2) $C$ の縮閉線に $D$ が含まれるような $r$ の最大値が答．

$C$ の縮閉線は，直線 ${\rm PQ}$ ： $x\sqrt{2}\sin\theta-y\cos\theta=\dfrac{\sin2\theta}{2}$ の包絡線であり，この式を $\theta$ で偏微分した $x\sqrt{2}\cos\theta+y\sin\theta=\cos 2\theta$ と直線 ${\rm PQ}$ の式から $\theta$ を消去することによって縮閉線の式が得られる．

この2式の2乗和は $2x^2+y^2=\dfrac{1+3\cos^2 2\theta}{4}$ であるから， $C$ の縮閉線上の点 $(x,y)$ を $\theta$ でパラメータ表示したときに $2x^2+y^2$ を計算すると $\dfrac{1+3\cos^2 2\theta}{4}$ となることを表している．

$\dfrac{1+3\cos^2 2\theta}{4}\geqq \dfrac{1}{4}$ （等号は $\cos 2\theta=0$ のとき）だから，包絡線に $2x^2+y^2=r^2$ が含まれるような $r$ の範囲は、 $r^2\leqq\dfrac{1}{4}$ となり， $r$ の最大値は $\dfrac{1}{2}$ である．