1978年(昭和53年)東京大学-数学(理科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.18記

[2] 二つの放物線 $y=x^2-2x+2$ ……(1)，
$y=-x^2+ax+b$ ……(2) は，
それらの交点の一つ $\mbox{P}$ で，接線が互いに直交しているものとする．このとき，放物線(2)は， $a$ ， $b$ の値に無関係な一定の点 $\mbox{Q}$ を通ることを証明し， $\mbox{Q}$ の座標を求めよ．

2023.08.18記

$y=ax^2+bx+c$ の頂点以外における法線と軸の交点の $y$ 座標は，頂点の $y$ 座標に $\dfrac{1}{2a}$ を足したものであることが簡単な計算からわかる．

[うまい解答]
$x-1=X$ ， $y-1=Y$ とおくと放物線(1)は $Y=X^2$ となる．

$Y=X^2$ の $X=\dfrac{k}{2}$ における接線の傾きは $k$ だから，この点における放物線(2) の接線の傾きは $-\dfrac{1}{k}$ となるので，放物線(2)の軸は $\dfrac{k}{2}-\dfrac{1}{2k}$ となり，頂点の $y$ 座標は $\left(\dfrac{k}{2}\right)^2+\left(\dfrac{1}{2k}\right)^2$ となる．

よって放物線(2)は
$Y=\left(X-\dfrac{k}{2}+\dfrac{1}{2k}\right)^2+\dfrac{k^2}{4}+\dfrac{1}{4k^2}$
$=-X^2+\left(k-\dfrac{1}{2k}\right)+\dfrac{1}{2}$
となり，必ず $(X,Y)=\left(0,\dfrac{1}{2}\right)$ を通る，つまり $(x,y)=\left(1,\dfrac{3}{2}\right)$ を通る．

[解答]
2つの放物線の交点の $x$ 座標を $\alpha$ とおくと，接線が直交することから
$(2\alpha-2)(-2\alpha+a)=-1$ ，
つまり
$4\alpha^2-2(a+2)\alpha+2a-1=0$
が成立する．これと交点に関する条件
$\alpha^2-2\alpha+2=-\alpha^2+a\alpha+b$
から，うまく $\alpha$ が消去できて
$2a+2b-5=0$
となり，放物線(2)は
$y=-x^2+ax+\dfrac{5-2a}{2}=(-x^2+\dfrac{5}{2})+a(x-1)$
となる．よって放物線(2)は必ず $(x,y)=\left(1,\dfrac{3}{2}\right)$ を通る．