1984年(昭和59年)東京大学-数学(理科)[6] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.25記

[6] $xy$ 平面において，不等式 $x^2\leqq y$ の表す領域を $D$ とし，不等式 $(x-4)^2\leqq y$ の表す領域を $E$ とする．

このとき，次の条件（＊）を満たす点 $\mbox{P}(a,b)$ 全体の集合を求め，これを図示せよ．

（＊） $\mbox{P}(a,b)$ に関して $D$ と対称な領域を $U$ とするとき，
$D \cap U \neq \phi, \quad E \cap U \neq \phi, \quad D \cap E \cap U = \phi$
が同時に成り立つ．ただし， $\phi$ は空集合を表すものとする．

2020.11.30記
（何でこんな下手糞な解答をしてんのだろう，，，(2023.09.17)⇒[別解]）

[解答]
$D:y\geqq x^2$ ，
$E:y\geqq (x-4)^2$ ，
$U:y\leqq -(x-2a)^2+2b$
である．
$\partial D:y= x^2$ ，
$\partial E:y= (x-4)^2$ ，
$\partial U:y= -(x-2a)^2+2b$
とおくと，
(a) $D\cap U\neq\phi$ は $\partial D$ と $\partial U$ が共有点をもつ，
(b) $E\cap U\neq\phi$ は $\partial E$ と $\partial U$ が共有点をもつとなる．

また， $\partial (D\cap E):y=\left\{\begin{array}{ll} (x-4)^2 & (x\leqq 2) \\ x^2 & (x\geqq 2) \end{array}\right.$
を用いて
(c) $D\cap E\cap U=\phi$ は $\partial (D\cap E)$ と $\partial U$ が共有点をもたない

となる．そして条件(a)〜(c) は
(A) $\partial D$ と $\partial U$ が $x\lt 2$ に2解(重解含む) をもち，
かつ
(B) $\partial E$ と $\partial U$ が $x\gt 2$ に2解(重解含む) をもつこと，
とまとめることができる．