1984年(昭和59年)東京大学-数学(文科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.25記

[1] $t$ を実数の定数として，関数 $f(x)=(x^2-3x+2)(x-t)$ を考える．いま $f'(x)=0$ の $2$ 個の解を $\alpha$ ， $\beta$ （ $\alpha\lt \beta$ ）と書くことにすれば，これらは $t$ の関数とみなすことができる．

$t$ の関数 $|t-\alpha|+|t-\beta|$ の $1\leqq t \leqq 3$ の範囲における最大値および最小値を求めよ．

[2] $xy$ 平面上に，海を隔てて2国 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ がある． $\mbox{A}$ の領土は不等式 $x^2+{(y-7)}^2\leqq 4$ で表される領域であり， $\mbox{B}$ の領土は不等式 $y\leqq 0$ で表される領域であるという．

いま $\mbox{A}$ の領海を次の3条件(1)，(2)，(3)を満たす点 $\mbox{P}$ 全体の集合と定める：

(1) $\mbox{P}$ は $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ いずれの領土にも含まれない．

(2) $\mbox{P}$ と $\mbox{A}$ の領土との間の最短距離は $4$ より小さい．

(3) $\mbox{P}$ と $\mbox{A}$ の領土との間の最短距離は， $\mbox{P}$ と $\mbox{B}$ の領土との間の最短距離より小さい．

$\mbox{A}$ の領海の面積を求めよ．

[3] 空間内の点の集合 $\{(x,y,z) \,|\, 0\leqq y,0\leqq z \}$ に含まれ，原点 $\mbox{O}$ において $x$ 軸に接し， $xy$ 平面と $45^{\circ}$ の傾きをなす，半径 $1$ の円板 $C$ がある．座標が $(0,0,2\sqrt{2})$ の位置にある点光源 $\mbox{P}$ により， $xy$ 平面上に投ぜられた円板 $C$ の影を $S$ とする．