[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1991年(平成3年)東京大学前期-数学(文科)[3]

2024.01.05記

[3] 二辺の長さが $1$ と $a$ の長方形の頂点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ ， $\mbox{D}$ および対角線の共有点 $\mbox{E}$ を中心として，半径 $r$ の円を $5$ つえがく．どの $2$ つの円の内部も共通部分をもたないようにして半径 $r$ を最大にするとき， $5$ つの円が長方形から切りとる面積を $S(a)$ とする． $a$ の関数 $\dfrac{S(a)}{a}$ のグラフの概形をえがけ．

2024.01.06記

[解答]
$r$ の最大値 $R$ は
$\min\left\{\dfrac{1}{2}，\dfrac{a}{2}，\dfrac{\sqrt{a^2+1}}{4}\right\}$
である．また， $S(a)=2\pi R^2$ である．

(i) $0\lt a\lt \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ のとき
$R=\dfrac{a}{2}$ より $\dfrac{S(a)}{a}=\dfrac{\pi a}{2}$

(ii) $\dfrac{1}{\sqrt{3}}\lt a\lt \sqrt{3}$ のとき
$R=\dfrac{\sqrt{a^2+1}}{4}$ より $\dfrac{S(a)}{a}=\dfrac{\pi (a^2+1)}{8a}$

(iii) $\sqrt{3}\lt a$ のとき
$R=\dfrac{1}{2}$ より $\dfrac{S(a)}{a}=\dfrac{\pi}{2a}$

となるので，これらを図示すれば良い．

（図示略）