1991年(平成3年)東京大学前期-数学(文科)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.01.05記

[4] 正四角錐 $V$ に対し，その底面上に中心をもち，そのすべての辺と接する球がある．底面の一辺の長さを $a$ とするとき，次の量を求めよ．

(1) $V$ の高さ

(2) 球と錐 $V$ との共通部分の体積

ただし，正四角錐とは，正方形を底面とし，その各辺を底辺とする $4$ つの合同な二等辺三角形と底面とで囲まれる図形とする．

本問のテーマ

正八面体
球台と球欠（球帽）の体積

2024.01.06記
(1) この正四角錐を2つ正方形の面で合わせると正八面体になる．立方体の6面の中心を頂点とする正八面体を考えると，1辺の長さが $a$ の正八面体の場合，対応する立方体の一辺は $\sqrt{2}a$ だから正四角錐の高さはその半分の $\dfrac{\sqrt{2}}{2}a$ となる．

(2) 正四角錐からはみでる部分の体積は球欠の体積
球台と球欠（球帽）の体積（その2） - 球面倶楽部零八式 mark II
を利用しても良いが，本問の場合は面倒となる．

[解答]
$b=\dfrac{a}{\sqrt{2}}$ とおき，正四角錐の底面の4頂点の座標を $(b,0,0)$ ， $(0,b,0)$ ， $(-b,0,0)$ ， $(0,-b,0)$ とし，残りの頂点の座標を $(0,0,h)$ （ $h\gt 0$ ）とおく．

底面をなす4辺に球が接することから球の方程式は $x^2+y^2+z^2=\dfrac{a^2}{4}=\dfrac{b^2}{2}$ である．

$xz$ 平面で考えることにより，円 $x^2+z^2=\dfrac{b^2}{2}$ と直線 $\dfrac{x}{b}+\dfrac{z}{h}=1$ が接するので，点と直線の距離の公式から
$\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{h^2}}}=\sqrt{\dfrac{b^2}{2}}$
となれば良く， $\dfrac{b^2}{2}\left(\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{h^2}\right)=1$ から $h=b$ となる．

(2) 側面の1つである $\dfrac{x}{b}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{b}=1$ と原点との距離は点と平面の距離の公式から $\dfrac{b}{\sqrt{3}}$ となる．
よってこの側面からはみでる球欠の体積 $W$ は，
$W=\displaystyle\int_{b/\sqrt{3}}^{b/\sqrt{2}} \pi\left(\dfrac{b^2}{2}-x^2\right)dx$ $=\pi \left[ \dfrac{b^2}{2}x-\dfrac{x^3}{3}\right]_{b/\sqrt{3}}^{b/\sqrt{2}}$
$=\pi b^3 \left(\dfrac{1}{3\sqrt{2}}-\dfrac{7}{18\sqrt{3}}\right)$ $=\pi b^3 \left(\dfrac{3\sqrt{6}-7}{18\sqrt{3}}\right)$
となるので，求める体積 $V$ は
$\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{4\pi}{3}\left(\dfrac{b}{\sqrt{2}}\right)^3-4\cdot\pi b^3 \left(\dfrac{3\sqrt{6}-7}{18\sqrt{3}}\right)$ $=\dfrac{28\sqrt{3}-27\sqrt{2}}{54}\pi b^3$ $=\dfrac{14\sqrt{6}-27}{108}\pi a^3$
となる．

よってこの側面からはみでる球欠の体積 $W$ は，底面の半径が $\sqrt{\dfrac{b^2}{2}-\dfrac{b^2}{3}}=\dfrac{b}{\sqrt{6}}$ ，高さが $\dfrac{b}{\sqrt{2}}-\dfrac{b}{\sqrt{3}}$ と高さが少々汚ないので，公式に代入すると汚なくなってしまう．