1991年(平成3年)東京大学前期-数学(文科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.01.05記

[2] $xyz$ 空間の点 $\mbox{P}(2,0,1)$ と， $yz$ 平面上の曲線 $z=y^2$ を考える．点 $\mbox{Q}$ がこの曲線上を動くとき，直線 $\mbox{PQ}$ が $xy$ 平面と出会う点 $\mbox{R}$ のえがく図形を $F$ とする．
$xy$ 平面上で $F$ を図示せよ．

本問のテーマ

カメラの幾何学（コンピュータビジョン）
射影変換での2次曲線の像

2024.01.06記
平面から平面への中心射影で2次曲線は2次曲線に移る．線形変換では放物線は放物線に移るが，射影変換では放物線が楕円や双曲線にも移ることがある．

[大人の解答]
視点が $\mbox{P}(2,0,1)$ であるから， $yz$ 平面の図形において平面 $z=1$ の部分は水平線となり，水平線よりも上の部分は数式的には
$xy$ 平面の後（ $x\gt 2$ の領域）に像を結び，水平線よりも下の部分は $xy$ 平面の前（ $x\lt 2$ の領域）に像を結ぶ．

今， $yz$ 平面上の放物線 $z=y^2$ は $z=1$ の上下に曲線をもつことから， $xy$ 平面において曲線は2つの部分に分かれることがわかり，よって像は双曲線となることがわかる．図形の対称性からその双曲線は $x$ 軸について対称であり，その頂点は $(0,0,0)$ の像 $(0,0,0)$ と視点を通り $z$ 軸と平行な直線との交点 $(2,0,0)$ であることがわかる．

また， $z=1$ との交点 $(0,\pm 1,1)$ の像は無限遠点に移ることから，視点から見たベクトル $(-2,\pm 1,0)$ 方向が双曲線の漸近線の方向となり，よってその双曲線の漸近線は $y=\pm\dfrac{1}{2}x$ に平行となることがわかる．双曲線の中心が $(1,0,0)$ であるから，双曲線の漸近線の式は　 $y=\pm\dfrac{1}{2}(x-1)$ であり，よって双曲線の式は
$\dfrac{(x-1)^2}{4}-y^2=K$ の型となる．双曲線が原点を通ることから $K=\dfrac{1}{4}$ となるので，求める双曲線の式は
$\dfrac{(x-1)^2}{4}-y^2=\dfrac{1}{4}$
となる．

よって求める図形 $F$ は
$(x-1)^2-4y^2=1$ （ $(2,0)$ を除く）
となる．

（図示略）

このあたりの仕組みについては
1992年(平成4年)東京大学後期-理I・総合科目ＩＩ[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
参照のこと．

[解答]
$\mbox{Q}(0,y,z)$ のときに $\mbox{R}(X,Y,0)$ であったとすると
$-2:y:(z-1)=(X-2):Y:-1$
が成立するので，
$y=\dfrac{-2Y}{X-2}$ ， $z-1=\dfrac{2}{X-2}$ （ $z=\dfrac{X}{X-2}$ ）但し $X\neq 2$
が成立する．よって $z=y^2$ より
$\dfrac{X}{X-2}=\left(\dfrac{-2Y}{X-2}\right)^2$
となる．整理して
$X(X-2)-4Y^2=0$
つまり
$(X-1)^2-4Y^2=1$
となる．但し $X\neq 2$ である．

（図示略）