1995年(平成7年)東京大学前期-数学(文科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.01.13記

[1] すべての正の実数 $x$ ， $y$ に対し $\sqrt{x}+\sqrt{y} \leqq k\sqrt{2x+y}$ が成り立つような実数 $k$ の最小値を求めよ．

[2] 自然数 $k$ に対し， $xy$ 平面上のベクトル $\vec{v}_k=\left(\cos\dfrac{k\pi}{4},\sin\dfrac{k\pi}{4}\right)$ を考える． $a$ ， $b$ を正の数とし，平面上の点 $\mbox{P}_0$ ， $\mbox{P}_1$ ，…， $\mbox{P}_8$ を
$\mbox{P}_0=(0,0)$
$\overrightarrow{\mbox{P}_{2n}\mbox{P}_{2n+1}}=a\,\vec{v}_{2n+1}$ ， $n=0$ ， $1$ ， $2$ ， $3$
$\overrightarrow{\mbox{P}_{2n+1}\mbox{P}_{2n+2}}=b\,\vec{v}_{2n+2}$ ， $n=0$ ， $1$ ， $2$ ， $3$
により定める．このとき以下の問いに答えよ．

(1) $\mbox{P}_8=\mbox{P}_0$ であることを示せ．

(2) $\mbox{P}_0$ ， $\mbox{P}_1$ ，…， $\mbox{P}_8$ を順に結んで得られる8角形の面積 $S$ を $a$ ， $b$ を用いて表せ．

(3) 面積 $S$ が $7$ ，線分 $\mbox{P}_0\mbox{P}_4$ の長さが $\sqrt{10}$ のとき， $a$ ， $b$ の値を求めよ．

[3] $xy$ 平面において，曲線 $y=-x^3+ax$ 上の $x\gt 0$ の部分に，点 $\mbox{P}$ を次の条件をみたすようにとる．ただし， $a\gt 0$ とする．
点 $\mbox{P}$ におけるこの曲線の接線と $y$ 軸との交点を $\mbox{Q}$ とするとき，原点 $\mbox{O}$ における接線が $\angle\mbox{QOP}$ を二等分する．
このとき， $\triangle\mbox{QOP}$ の面積 $S(a)$ の最小値と，それを与える $a$ の値を求めよ．

[4] 半径 $1$ cm の半球形の器が水平から角 $\theta$ だけ傾けて固定されている．ただし， $0\lt \theta\lt \dfrac{\pi}{2}$ とする．この器に毎秒 $\dfrac{\pi}{18}\mbox{cm}^3$ の割合で水を入れるとき，入れはじめてから $3+\cos^2\theta$ 秒後に器から水が流れだした．このときの $\theta$ の値を求めよ．