1995年(平成7年)東京大学前期-数学(文科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.01.13記

[2] 自然数 $k$ に対し， $xy$ 平面上のベクトル $\vec{v}_k=\left(\cos\dfrac{k\pi}{4},\sin\dfrac{k\pi}{4}\right)$ を考える． $a$ ， $b$ を正の数とし，平面上の点 $\mbox{P}_0$ ， $\mbox{P}_1$ ，…， $\mbox{P}_8$ を
$\mbox{P}_0=(0,0)$
$\overrightarrow{\mbox{P}_{2n}\mbox{P}_{2n+1}}=a\,\vec{v}_{2n+1}$ ， $n=0$ ， $1$ ， $2$ ， $3$
$\overrightarrow{\mbox{P}_{2n+1}\mbox{P}_{2n+2}}=b\,\vec{v}_{2n+2}$ ， $n=0$ ， $1$ ， $2$ ， $3$
により定める．このとき以下の問いに答えよ．

(1) $\mbox{P}_8=\mbox{P}_0$ であることを示せ．

(2) $\mbox{P}_0$ ， $\mbox{P}_1$ ，…， $\mbox{P}_8$ を順に結んで得られる8角形の面積 $S$ を $a$ ， $b$ を用いて表せ．

(3) 面積 $S$ が $7$ ，線分 $\mbox{P}_0\mbox{P}_4$ の長さが $\sqrt{10}$ のとき， $a$ ， $b$ の値を求めよ．

2024.01.14記

[解答]
自然数 $k$ に対し， $\vec{v}_{k}+\vec{v}_{k+4}=\vec{0}$ である．

(1) $\overrightarrow{\mbox{P}_{0}\mbox{P}_{8}}$
$=a\vec{v}_{1}+b\vec{v}_{2}+a\vec{v}_{3}+b\vec{v}_{4}$ $+a\vec{v}_{5}+b\vec{v}_{6}+a\vec{v}_{7}+b\vec{v}_{8}$
$=a(\vec{v}_{1}+\vec{v}_{5}+a(\vec{v}_{3}+\vec{v}_{7})$ $+b(\vec{v}_{2}+\vec{v}_{6})+b(\vec{v}_{4}+\vec{v}_{8})$
$=\vec{0}$
により $\mbox{P}_8=\mbox{P}_0$ である．

(2) 一辺 $\sqrt{2}a+b$ の正方形から 4 つの斜辺が $a$ の直角2等辺三角形を切り落したものだから，その面積は
$S=(\sqrt{2}a+b)^2-a^2=a^2+2\sqrt{2}ab+b^2$
となる．

(3) $S=(\sqrt{2}a+b)^2-a^2=7$ ，
$|\overrightarrow{\mbox{P}_{0}\mbox{P}_{4}}|^2$ $=|\overrightarrow{\mbox{P}_{0}\mbox{P}_{3}}|^2+|\overrightarrow{\mbox{P}_{3}\mbox{P}_{4}}|^2$ $=(\sqrt{2}a+b)^2+b^2=10$
であるから， $a^2+b^2=3$ となり
$S=a^2+2\sqrt{2}ab+b^2$
から $ab=\sqrt{2}$ ，つまり $a^2b^2=2$ となる．

よって $a^2，b^2$ は $t$ についての2次方程式
$t^2-3t+2=(t-1)(t-2)$
の2解となり，よって $(a，b)$ $=(1，\sqrt{2})$ $(\sqrt{2}，1)$ となる．