1995年(平成7年)東京大学前期-数学(文科)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.01.13記

[4] 半径 $1$ cm の半球形の器が水平から角 $\theta$ だけ傾けて固定されている．ただし， $0\lt \theta\lt \dfrac{\pi}{2}$ とする．この器に毎秒 $\dfrac{\pi}{18}\mbox{cm}^3$ の割合で水を入れるとき，入れはじめてから $3+\cos^2\theta$ 秒後に器から水が流れだした．このときの $\theta$ の値を求めよ．

本問のテーマ

球台と球欠（球帽）の体積

2024.01.14記
球欠（球帽）の体積は
球台と球欠（球帽）の体積（その2） - 球面倶楽部零八式 mark II
のような公式もあるが，実践的にはこの体積を導く1つの方法として用いる球冠の面積と球の体積の比を利用して円錐の体積を引くのが早い．
このとき，球冠の面積が幅に比例することを利用する．

[解答]
半径 $1$ cm の半球形の器が水平から角 $\theta$ だけ傾けて固定されているとき，底から $1-\sin\theta$ の高さを超えると水が流れだす．

よってこの体積は
$\displaystyle\int_{\sin\theta}^{1}\pi(1-x^2)\,dx$ $\pi\left[ x-\dfrac{x^3}{3}\right]_{\sin\theta}^{1}$ $\pi\left(\dfrac{2}{3}-\sin\theta+\dfrac{\sin^3\theta}{3}\right)$
となり，これが
$(3+\cos^2\theta)\times\dfrac{\pi}{18}$ $=(4-\sin^2\theta)\times\dfrac{\pi}{18}$
に等しいので，
$\pi\left(\dfrac{2}{3}-\sin\theta+\dfrac{\sin^3\theta}{3}\right)$ $=(4-\sin^2\theta)\times\dfrac{\pi}{18}$
となる．整理して
$6\sin^3\theta+\sin^2\theta-18\sin\theta+8=0$ ，
つまり
$(2\sin\theta-1)(\sin\theta+2)(3\sin\theta-4)=0$
となる．よって $\sin\theta=\dfrac{1}{2}$ となり， $0\lt \theta\lt \dfrac{\pi}{2}$ より $\theta=\dfrac{\pi}{6}$ となる．

[うまい解答]（積分しないという意味で）
半径 $1$ cm の半球形の器が水平から角 $\theta$ だけ傾けて固定されているとき，底から $1-\sin\theta$ の高さを超えると水が流れだす．

よってこの体積は
$\dfrac{4\pi}{3}\times\dfrac{1-\sin\theta}{2}-\dfrac{1}{3}\pi\cdot\cos^2\theta\sin\theta$
となり，これが
$(3+\cos^2\theta)\times\dfrac{\pi}{18}$ $=(4-\sin^2\theta)\times\dfrac{\pi}{18}$
に等しいので，
$\dfrac{4\pi}{3}\times\dfrac{1-\sin\theta}{2}-\dfrac{1}{3}\pi\cdot(1-\sin^2\theta)\sin\theta$ $=(4-\sin^3\theta)\times\dfrac{\pi}{18}$
となる．整理して
$6\sin^3\theta+\sin^2\theta-18\sin\theta+8=0$ ，
つまり
$(2\sin\theta-1)(\sin\theta+2)(3\sin\theta-4)=0$
となる．よって $\sin\theta=\dfrac{1}{2}$ となり， $0\lt \theta\lt \dfrac{\pi}{2}$ より $\theta=\dfrac{\pi}{6}$ となる．