1995年(平成7年)東京大学前期-数学(理科)[6] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.01.13記

[6] 原点を $\mbox{O}$ とする $xy$ 平面上の双曲線 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ （ $a\gt 0$ ， $b\gt 0$ ）上の点 $\mbox{P}$ における接線と2つの漸近線との交点を $\mbox{Q}$ ， $\mbox{R}$ とする．
このとき以下の問いに答えよ．

(1) 三角形 $\mbox{OQR}$ の面積 $S$ は，点 $\mbox{P}$ のとり方にはよらず， $a$ ， $b$ によって定まることを示せ．

(2) $a=5e^{2t}+e^{-t}$ ， $b=e^{2t}+e^{-t}$ として実数 $t$ を変化させるときの $S$ の最小値を求めよ．

本問のテーマ

双曲線と接線を $xy=1$ と $(1,1)$ における接線に移す線形変換

2023.12.26記

[解答]
$X=\dfrac{x}{a}-\dfrac{y}{b}$ ， $Y=\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}$
なる線形変換
$\begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 1/a & 1/b \\ -1/a & 1/b \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
によって，与えられた双曲線は $XY=1$ に移り，この線形変換によって面積は $\dfrac{2}{ab}$ 倍にうつる．このとき $\mbox{P}$ の像を $(s,s^{-1})$ とし，さらに線形変換 $=\begin{pmatrix} 1/s & 0 \\ 0 & s \end{pmatrix}$ で移すと $XY=1$ に移り，この線形変換によって面積は $1$ 倍にうつる．

この2つの線形変換によって点 $\mbox{P}$ は $(1,1)$ にうつるので， $\triangle\mbox{OQR}$ は $(0,0)$ ， $(2,0)$ ， $(0,2)$ を3頂点とする三角形にうつり，その面積は2だから
$\triangle\mbox{OQR}=2÷\dfrac{2}{ab}=ab$
となる．

(2) $S=ab=5e^{4t}+6e^{t}+e^{-2t}$ より $S'=2e^{-2t}(2e^{3t}+1)(5e^{3t}-1)$
だから $S$ は $t=-\dfrac{1}{3}\log 5$ のとき最小値 $\dfrac{12}{\sqrt[3]{5}}$ をとる．