1995年(平成7年)東京大学前期-数学(文科)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.01.13記

[3] $xy$ 平面において，曲線 $y=-x^3+ax$ 上の $x\gt 0$ の部分に，点 $\mbox{P}$ を次の条件をみたすようにとる．ただし， $a\gt 0$ とする．
点 $\mbox{P}$ におけるこの曲線の接線と $y$ 軸との交点を $\mbox{Q}$ とするとき，原点 $\mbox{O}$ における接線が $\angle\mbox{QOP}$ を二等分する．
このとき， $\triangle\mbox{QOP}$ の面積 $S(a)$ の最小値と，それを与える $a$ の値を求めよ．

本問のテーマ

多項式関数 $f(x)$ の $x=0$ における接線は $y=(f(x)の1次以下の項)$

2024.01.14記
先に $\mbox{P}$ を設定して $\angle\mbox{QOP}$ を二等分するよりも，先に $\angle\mbox{QOP}$ の2等分線を設定して直線 $\mbox{OP}$ の式を出した後に $\mbox{P}$ を求める方が楽．

[解答]
$y=f(x)=-x^3+ax$ の $\mbox{O}$ における接線は $y=ax$ ，つまり $x=\dfrac{1}{a}y$ であるから，直線 $\mbox{OP}$ の式は tan の2倍角公式から
$x=\dfrac{2/a}{1-1/a^2}y=\dfrac{2a}{a^2-1}y$ ，つまり $y=\dfrac{a^2-1}{2a}x$ となる．

よって点 $\mbox{P}$ の $x$ 座標は
$-x^3+ax=\dfrac{a^2-1}{2a}x$ ， $x\gt 0$
により $x=\sqrt{\dfrac{a^2+1}{2a}}$ となる．この値を $b$ とおく．

このとき点 $\mbox{P}$ における接線は
$y=(-3b^2+a)(x-b)-b^3+ab$ $=(-3b^2+a)x+2b^3$
により $\mbox{Q}(0,2b^3)$ であるから，
$S(a)=\dfrac{1}{2}\cdot 2b^3 \cdot b=b^4=\dfrac{1}{4}\left(a+\dfrac{1}{a}\right)^2$
となり，AM-GM 不等式から $a\gt 0$ で
$a+\dfrac{1}{a}\geqq 2$ （等号は $a=1$ ）
となるので
$S(a)$ は $a=1$ のときに最小値 $1$ をとる．