1997年(平成9年)東京大学前期-数学(文科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.01.15記

[1] $a$ ， $b$ は実数で $a^2+b^2=16$ ， $a^3+b^3=44$ をみたしている．このとき，

(1) $a+b$ の値を求めよ．

(2) $n$ を2以上の整数とするとき， $a^n+b^n$ は $4$ で割り切れる整数であることを示せ．

[2] $a$ ， $b$ を正の数とし， $xy$ 平面の $2$ 点 $\mbox{A}(a,0)$ および $\mbox{B}(0,b)$ を頂点とする正 $3$ 角形を $\mbox{ABC}$ とする．ただし， $\mbox{C}$ は第1象限の点とする．

(1) $3$ 角形 $\mbox{ABC}$ が正方形
$D=\{(x,y)\,|\,0 \leqq x \leqq 1\mbox{，}\, 0\leqq y\leqq 1\}$
に含まれるような $(a,b)$ の範囲を求めよ．

(2) $(a,b)$ が(1)の範囲を動くとき， $3$ 角形 $\mbox{ABC}$ の面積 $S$ が最大となるような $(a,b)$ を求めよ．また，そのときの $S$ の値を求めよ．

[3] $r$ を正の数とする． $xyz$ 空間に原点 $\mbox{O}(0,0,0)$ と3点 $\mbox{A}(1,0,0)$ ， $\mbox{B}(0,1,0)$ ， $\mbox{C}(0,0,1)$ をとる． $xyz$ 空間の点 $\mbox{P}$ で
$|\overrightarrow{\mbox{PA}}|=|\overrightarrow{\mbox{PB}}|=r|\overrightarrow{\mbox{PO}}|$ ， $|\overrightarrow{\mbox{PC}}|=|\overrightarrow{\mbox{PO}}$ ]
を満たすものが2つ存在するための $r$ の条件を求めよ．さらに，この $2$ 点の座標を $r$ を用いて表せ．

[4] $0\leqq t\leqq 1$ をみたす実数 $t$ に対して， $xy$ 平面上の点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ を
$\mbox{A}\left(\dfrac{2(t^2+t+1),3(t+1)},-2\right)$ ， $\mbox{B}\left(\dfrac{2}{3}t,-2t\right)$
と定める． $t$ が $0\leqq t\leqq 1$ を動くとき，直線 $\mbox{AB}$ の通りうる範囲を図示せよ．