1997年(平成9年)東京大学前期-数学(文科)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.01.15記

[4] $0\leqq t\leqq 1$ をみたす実数 $t$ に対して， $xy$ 平面上の点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ を
$\mbox{A}\left(\dfrac{2(t^2+t+1),3(t+1)},-2\right)$ ， $\mbox{B}\left(\dfrac{2}{3}t,-2t\right)$
と定める． $t$ が $0\leqq t\leqq 1$ を動くとき，直線 $\mbox{AB}$ の通りうる範囲を図示せよ．

本問のテーマ

包絡線

2021.01.11記

[大人の解答]
直線 $\rm AB$ の方程式は
$f(x,y;t)=3(t^2-1)x-y-2t^3=0$
である．
$\dfrac{\partial}{\partial t}f(x,y;t)=6tx-6t^2=0$
であるから， $t\neq 0$ のとき， $t=x$ として
$f(x,y;x)=x^3-3x-y=0$
となるので， $t\neq 0$ のとき，
$f(x,y;t)=0$ は $y=x^3-3x$ に $x=t$ で接する．極限を考えれば， $t=0$ のときも接し、その接線は $f(x,y;0)=0$ つまり $y=-3x$ となる．

$t=1$ のとき直線 $\rm AB$ は $y=2$ であることから， $y=x^3-3x$ の接線を接点が $0$ から $1$ まで動かしたときの通過範囲となる．

[解答]
$y=f(t)=-2t^3+3xt^2-3x$ の $0\leqq t\leqq 1$ における最大値を $M(x)$ ，最小値 $m(x)$ を求める．
$f'(t)=0$ の解は $t=0,x$ であり，最大、最小は端点または極値でとるので、

$f(0)=-3x$ ， $f(1)=-2$ ， $f(x)=x^3-3x$ （但し $0\leqq x\leqq 1$ ）

を描いて最大と最小をつなげば $y=M(x)，y=m(x)$ のグラフが得られる．よって，

$x\leqq 0$ のとき $-2\leqq y\leqq -3x$
$0\leqq x\leqq\dfrac{2}{3}$ のとき $-2\leqq y\leqq x^3-3x$
$\dfrac{2}{3}\leqq x\leqq 1$ のとき $-3x\leqq y\leqq x^3-3x$
$1\leqq x$ のとき $-3x\leqq y\leqq -2$

を図示すれば良い．