1997年(平成9年)東京大学前期-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.01.15記

[1] $a$ ， $b$ を正の数とし， $xy$ 平面の $2$ 点 $\mbox{A}(a,0)$ および $\mbox{B}(0,b)$ を頂点とする正 $3$ 角形を $\mbox{ABC}$ とする．ただし， $\mbox{C}$ は第1象限の点とする．

(1) $3$ 角形 $\mbox{ABC}$ が正方形
$D=\{(x,y)\,|\,0 \leqq x \leqq 1\mbox{，}\, 0\leqq y\leqq 1\}$
に含まれるような $(a,b)$ の範囲を求めよ．

(2) $(a,b)$ が(1)の範囲を動くとき， $3$ 角形 $\mbox{ABC}$ の面積 $S$ が最大となるような $(a,b)$ を求めよ．また，そのときの $S$ の値を求めよ．

[2] $n$ を正の整数， $a$ を実数とする．すべての整数 $m$ に対して
$m^2-(a-1)m+\dfrac{n^2}{2n+1}a\gt 0$
が成り立つような $a$ の範囲を $n$ を用いて表せ．

[3] $r$ は $0\lt r\lt 1$ をみたす実数とする． $xyz$ 空間に原点 $\mbox{O}(0,0,0)$ と $2$ 点 $\mbox{A}(1,0,0)$ ， $\mbox{B}(0,1,0)$ をとる．

(1) $xyz$ 空間の点 $\mbox{P}$ で条件
$|\overrightarrow{\mbox{PA}}|=|\overrightarrow{\mbox{PB}}|=r|\overrightarrow{\mbox{PO}}|$
をみたすものが存在するような $r$ の範囲を求めよ．

(2) 点 $\mbox{P}$ が(1)の条件をみたして動くとき，内積 $\overrightarrow{\mbox{PA}}\cdot\overrightarrow{\mbox{PB}}$ の最大値，最小値を $r$ の関数と考えてそれぞれ $M(r)$ ， $m(r)$ で表す．このとき，左からの極限
$\displaystyle\lim_{r\to1-0}{(1-r)}^2\{M(r)-m(r)\}$
を求めよ．

[4] 正 $3$ 角形 $\mbox{ABC}$ の頂点 $\mbox{A}$ から辺 $\mbox{AB}$ とのなす角が $\theta$ の方向に， $3$ 角形の内部に向かって出発した光線を考える．ただし $0\lt \theta\lt 60^{\circ}$ とする．この光線は $3$ 角形の各辺で入射角と反射角が等しくなるように反射し，頂点に達するとそこでとまるものとする．また， $3$ 角形の内部では光線は直進するものとする．