1997年(平成9年)東京大学前期-数学(理科)[6] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.01.15記

[6] $a$ を実数とする．

(1) 曲線 $y=\dfrac{8}{27}x^3$ と放物線 $y=(x+a)^2$ の両方に接する直線が $x$ 軸以外に $2$ 本あるような $a$ の範囲を求めよ．

(2) $a$ が(1)の範囲にあるとき，この $2$ 本の接線と放物線 $y=(x+a)^2$ で囲まれた部分の面積 $S$ を $a$ を用いて表せ．

2020.01.11記

[解答]
$y=\dfrac{8}{27}x^3$ の $x=t$ における接線の方程式は
$y=\dfrac{8}{9}t^2x-\dfrac{16}{27}t^3$
であり，これが $y=(x+a)^2$ に接することと $x$ の方程式
$(x+a)^2=\dfrac{8}{9}t^2x-\dfrac{16}{27}t^3$ ，
つまり
$x^2+\dfrac{18a-8t^2}{9}x+\dfrac{27a^2+16t^2}{27}=0$
が重解をもつことは同値である．このとき，判別式を0とおいて $t^2(2t^2-6t-9a)=0$ となる． $t\neq 0$ より
$2t^2-6t-9a=0$
となる．これが $t\neq 0$ なる相異2実解をもてば良いので，
$a\neq 0，a\gt -\dfrac{1}{2}$

(2) $x^2+\dfrac{18a-8t^2}{9}x+\dfrac{27a^2+16t^2}{27}=0$ が重解をもつとき，その重解は $x=\dfrac{4t^2-9a}{9}$ であるから，
$2t^2-6t-9a=0$ の2実解を $\alpha,\beta$ とおくと $x=0$ 以外の2接線と
$y=(x+a)^2$
との接点の $x$ 座標は $x=\dfrac{4\alpha^2-9a}{9}$ ， $\dfrac{4\beta^2-9a}{9}$ となる．

ここで，
$\alpha+\beta=3，\alpha\beta=-\dfrac{9}{2}a$ により
$|\beta-\alpha|=3\sqrt{2a+1}$
であるから，求める面積を $S$ とすると
$S=\dfrac{1}{12}\left|\dfrac{4}{9}(\beta^2-\alpha^2)\right|^3$ $=\dfrac{1}{12}\left|4\sqrt{2a+1}\right|^3$ $=\dfrac{16(2a+1)\sqrt{2a+1}}{3}$
となる．