[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1997年(平成9年)東京大学前期-数学(文科)[1]

2024.01.15記

[1] $a$ ， $b$ は実数で $a^2+b^2=16$ ， $a^3+b^3=44$ をみたしている．このとき，

(1) $a+b$ の値を求めよ．

(2) $n$ を2以上の整数とするとき， $a^n+b^n$ は $4$ で割り切れる整数であることを示せ．

2020.01.11記

[解答]
$S_n=a^n+b^n$ とし， $s=S_1$ ， $t=ab$ とおくと，
$S_{n+2}=sS_{n+1}-tS_n$ が任意の自然数 $n$ について成立する．

$S_2=sS_1-tS_0=s^2-2t=16$ ，
$S_3=sS_2-tS_1=16s-2ts=44$ ，

であるから，
$16s-s(s^2-16)=44$
つまり
$s^3-48s+88=(s-2)(s^2+2s-44)=0$
が成立する．よって $s=2,-1\pm\sqrt{45}$ となる．

今、 $a,b$ が実数より
$(a-b)^2=s^2-4t=32-s^2\geqq 0$
であるから， $s=2$ のみが適合する．

よって $a+b=2$

(2) $s=2$ より $t=-6$ となるので，
$S_{n+2}=2S_{n+1}+6S_n$
となる． $S_2,S_3$ は4の倍数だから，この漸化式から、帰納的に2以上の任意の自然数 $n$ について $S_n$ は4の倍数となる．