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東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

2005年(平成17年)東京大学前期-数学(文科)

2024.02.18記

[1] $f(x)$ を $f(0)=0$ を満たす2次関数とする． $a$ ， $b$ を実数として，関数 $g(x)$ を次で与える．
$g(x)= \left\{ \begin{array}{ll} ax & (x\leqq0) \\ bx & (x\gt 0) \end{array} \right.$
$a$ ， $b$ をいろいろ変化させ
$\displaystyle\int_{-1}^{0} \{ f'(x)-g'(x) \}^2\,dx+ \displaystyle\int_{0}^{1} \{ f'(x)-g'(x) \}^2\,dx$
が最小になるようにする．このとき， $g(-1)=f(-1)$ ， $g(1)=f(1)$ であることを示せ．

[2] $3$ 以上 $9999$ 以下の奇数 $a$ で， $a^2-a$ が $10000$ で割り切れるものをすべて求めよ．

[3] $0$ 以上の実数 $s$ ， $t$ が $s^2+t^2=1$ を満たしながら動くとき，方程式
$x^4-2(s+t)x^2+(s-t)^2=0$
の解のとる値の範囲を求めよ．

[4] $N$ を1以上の整数とする．数字 $1$ ， $2$ ，……， $N$ が書かれたカードを1枚ずつ，計 $N$ 枚用意し，甲，乙のふたりが次の手順でゲームを行う．

(i) 甲が $1$ 枚カードをひく．そのカードに書かれた数を $a$ とする．ひいたカードはもとに戻す．

(ii) 甲はもう $1$ 回カードをひくかどうかを選択する．ひいた場合は，そのカードに書かれた数を $b$ とする．ひいたカードはもとに戻す．ひかなかった場合は， $b=0$ とする． $a+b\gt N$ の場合は乙の勝ちとし，ゲームは終了する．

(iii) $a+b\leqq N$ の場合は，乙が $1$ 枚カードをひく．そのカードに書かれた数を $c$ とする．ひいたカードはもとに戻す． $a+b\lt c$ の場合は乙の勝ちとし，ゲームは終了する．

(iv) $a+b\geqq c$ の場合は，乙はもう $1$ 回カードをひく．そのカードに書かれた数を $d$ とする． $a+b\lt c+d \leqq N$ の場合は乙の勝ちとし，それ以外の場合は甲の勝ちとする．

(ii)の段階で，甲にとってどちらの選択が有利であるかを， $a$ の値に応じて考える．以下の問いに答えよ．

(1) 甲が $2$ 回目にカードをひかないことにしたとき，甲の勝つ確率を $a$ を用いて表せ．

(2) 甲が $2$ 回目にカードをひくことにしたとき，甲の勝つ確率を $a$ を用いて表せ．

ただし，各カードがひかれる確率は等しいものとする．

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