2005年(平成17年)東京大学前期-数学(理科)[6] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.02.18記

[6] $r$ を正の実数とする． $xyz$ 空間において
$x^2+y^2 \leqq r^2$ ，
$y^2+z^2 \geqq r^2$ ，
$z^2+x^2 \leqq r^2$
をみたす点全体からなる立体の体積を求めよ．

本問のテーマ

シュタインメッツの立体(Steinmetz solid)

2024.02.18記
3つの円柱の交わりは有名問題ですが，本問は2つの円柱の交わりの体積から3つの円柱の交わりの体積を除いたものとなる．
2本の円柱の交わりと同じように積分を用いない解答も知られており，昔バイトしていた塾の中2のテキストにあったカバリエリの原理の問題の応用例として話したことがある．
その話を
球欠（球帽）の体積(その3)と3円柱の交わり - 球面倶楽部零八式 mark II
に書いておいた．

[うまい解答]
底面の半径が $r$ の3円柱の交わりは，1辺 $\sqrt{2}r$ の立方体の6面に，半径 $r$ の球をその中心から $\dfrac{1}{\sqrt{2}}r$ の距離にある平面で切り落とした小さい球欠の，その平面と平行な平面との断面である円を正方形に変換してできる立体を貼りつけたものだからその体積は
$2\sqrt{2}r^3+6\cdot \dfrac{(8-5\sqrt{2})\pi}{12}r^3\cdot \dfrac{4}{\pi}$ $=(16-8\sqrt{2})r^3$
となる．

また底面の半径が $r$ の2円柱の交わりは，半径 $r$ の球のある平面に平行な平面との断面である円を正方形に変換してできる立体となるので，その体積は
$\dfrac{4\pi}{3}r^3\times\dfrac{4}{\pi}=\dfrac{16}{3}r^3$
となる．

よって求める立体の体積はその差である
$\dfrac{16}{3}r^3-(16-8\sqrt{2})r^3$ $=\left(8\sqrt{2}-\dfrac{32}{3}\right)r^3$
となる．

積分の練習ということで普通に解いておこう．1つだけ不等号が逆の $y^2+z^2 \geqq r^2$ に着目して $x=r\sin\theta$ （ $-\dfrac{\pi}{2} \leqq \theta\leqq\dfrac{\pi}{2}$ ）で切ることにする．

[解答]
立体は $yz$ 平面について対称なので $x\geqq 0$ の部分の体積を求めてそれを2倍すれば良い．

立体の平面 $x=r\sin\theta$ （ $0\leqq \theta\leqq\dfrac{\pi}{2}$ ）による断面は
$y^2 \leqq r^2\cos^2\theta$ ，
$z^2 \leqq r^2\cos^2\theta$ ，
$y^2+z^2 \geqq r^2$
をみたす領域となる．この領域が空集合とならない条件は，前2つの式から $y^2+z^2\leqq 2r^2\cos^2\theta$ となることに着目すると
$1\leqq 2\cos^2\theta$ となるので $-\dfrac{\pi}{4} \leqq \theta\leqq\dfrac{\pi}{4}$ であり，このときの断面積は
$4r^2\left\{\cos^2\theta-\cos\theta\sin\theta-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\pi}{2}-2\theta\right)\right\}$
となる．よって求める体積 $V$ は $dx=r\cos\theta d\theta$ に注意して
$V=8r^2\displaystyle\int_{\theta=0}^{\theta=\pi/4} \left\{\cos^2\theta-\cos\theta\sin\theta-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\pi}{2}-2\theta\right)\right\}dx$
$=8r^3\displaystyle\int_{0}^{\pi/4} \left\{\cos^2\theta-\cos\theta\sin\theta-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\pi}{2}-2\theta\right)\right\}\cdot \cos\theta d\theta$
$=8r^3\displaystyle\int_{0}^{\pi/4} \left\{\cos^3\theta-\cos^2\theta\sin\theta-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\pi}{2}\cos\theta-2\theta\cos\theta\right)\right\} d\theta$
$=8r^3\displaystyle\int_{0}^{\pi/4} \left\{(1-\sin^2\theta)\cos\theta-\cos^2\theta\sin\theta-\dfrac{\pi}{4}\cos\theta+\theta\cos\theta\right\} d\theta$
$=8r^3\Bigl[\sin\theta-\dfrac{\sin^3\theta}{3}+\dfrac{\cos^3\theta}{3}-\dfrac{\pi}{4}\sin\theta+\theta\sin\theta +\cos\theta\Bigr]_0^{\pi/4}$
$=8r^3\left(\sqrt{2}-\dfrac{4}{3}\right)$ $=\left(8\sqrt{2}-\dfrac{32}{3}\right)r^3$

積分計算の代入は， $\theta=\dfrac{\pi}{4}$ を代入するときは $\cos\theta=\sin\theta$ に着目すると暗算で $2\sin\theta=\sqrt{2}$ と計算でき， $\theta=\dfrac{\pi}{4}$ を代入するときは $\sin\theta=0$ ， $\cos\theta=1$ に着目すると暗算で $\dfrac{1}{3}+1=\dfrac{4}{3}$ と計算できる．