2005年(平成17年)東京大学前期-数学(文科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.02.18記

[1] $f(x)$ を $f(0)=0$ を満たす2次関数とする． $a$ ， $b$ を実数として，関数 $g(x)$ を次で与える．
$g(x)= \left\{ \begin{array}{ll} ax & (x\leqq0) \\ bx & (x\gt 0) \end{array} \right.$
$a$ ， $b$ をいろいろ変化させ
$\displaystyle\int_{-1}^{0} \{ f'(x)-g'(x) \}^2\,dx+ \displaystyle\int_{0}^{1} \{ f'(x)-g'(x) \}^2\,dx$
が最小になるようにする．このとき， $g(-1)=f(-1)$ ， $g(1)=f(1)$ であることを示せ．

2024.02.19記
統計とは直接関係ないけど，分散公式を思い出せば
$\displaystyle\int \{ f(x)-a \}^2\,dx$ $=\left(a-\displaystyle\int f(x)dx\right)^2$ $+\displaystyle\int \{ f(x) \}^2\,dx-\left(\displaystyle\int f(x)dx\right)^2$
のように変形できることがわかるだろう．

[解答]
$\displaystyle\int_{-1}^{0} \{ f'(x)-g'(x) \}^2\,dx+ \displaystyle\int_{0}^{1} \{ f'(x)-g'(x) \}^2\,dx$
$=\displaystyle\int_{-1}^{0} \{ f'(x)-a \}^2\,dx+ \displaystyle\int_{0}^{1} \{ f'(x)-b \}^2\,dx$
$=\left(a-\displaystyle\int_{-1}^{0} f'(x)dx\right)^2$ $+\left(b-\displaystyle\int_{0}^{1} f'(x)dx\right)^2$ $+\displaystyle\int_{-1}^{1} \{ f'(x) \}^2\,dx-\left(\displaystyle\int_{-1}^{0} f'(x)dx\right)^2)-\left(\displaystyle\int_{0}^{1} f'(x)dx\right)^2)$
は
$a=\displaystyle\int_{-1}^{0} f'(x)dx=f(0)-f(-1)=-f(-1)$ ，
$b=\displaystyle\int_{0}^{1} f'(x)dx=f(1)-f(0)=f(1)$
のときに最小となり，このとき
$g(-1)=-a=f(-1)$ ， $g(1)=b=f(1)$
である．