[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

2005年(平成17年)東京大学前期-数学(理科)

2024.02.18記

[1] $x\gt 0$ に対し $f(x)=\dfrac{\log x}{x}$ とする．

(1) $n=1$ ， $2$ ，…… に対し $f(x)$ の第 $n$ 次導関数は，数列 $\{a_n\}$ ， $\{b_n\}$ を用いて
$f^{(n)}(x)=\dfrac{a_n+b_n\log x}{x^{n+1}}$
と表されることを示し， $a_n$ ， $b_n$ に関する漸化式を求めよ．

(2) $h_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k}$ とおく． $h_n$ を用いて $a_n$ ， $b_n$ の一般項を求めよ．

[2] $|z|\gt \dfrac{5}{4}$ となるどのような複素数 $z$ に対しても $w=z^2-2z$ とは表されない複素数 $w$ 全体の集合を $T$ とする．すなわち，
$T = \bigg\{ w \,\bigg| \, w=z^2-2z\quad ならば \quad |z|\leqq\dfrac{5}{4} \bigg\}$
とする．このとき， $T$ に属する複素数 $w$ で絶対値 $|w|$ が最大になるような $w$ の値を求めよ．

[3] 関数 $f(x)$ を $f(x)=\dfrac{1}{2}x \{ 1+e^{-2(x-1)} \}$ とする．ただし， $e$ は自然対数の底である．

(1) $x\gt \dfrac{1}{2}$ ならば $0\leqq f'(x)\lt \dfrac{1}{2}$ であることを示せ．

(2) $x_0$ を正の数とするとき，数列 $\{x_n\}$ （ $n=0$ ， $1$ ，…）を， $x_{n+1}=f(x_n)$ によって定める． $x_0\gt \dfrac{1}{2}$ であれば， $\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=1$ であることを示せ．

[4] $3$ 以上 $9999$ 以下の奇数 $a$ で， $a^2-a$ が $10000$ で割り切れるものをすべて求めよ．

[5] $N$ を1以上の整数とする．数字 $1$ ， $2$ ，……， $N$ が書かれたカードを1枚ずつ，計 $N$ 枚用意し，甲，乙のふたりが次の手順でゲームを行う．

(i) 甲が $1$ 枚カードをひく．そのカードに書かれた数を $a$ とする．ひいたカードはもとに戻す．

(ii) 甲はもう $1$ 回カードをひくかどうかを選択する．ひいた場合は，そのカードに書かれた数を $b$ とする．ひいたカードはもとに戻す．ひかなかった場合は， $b=0$ とする． $a+b\gt N$ の場合は乙の勝ちとし，ゲームは終了する．

(iii) $a+b\leqq N$ の場合は，乙が $1$ 枚カードをひく．そのカードに書かれた数を $c$ とする．ひいたカードはもとに戻す． $a+b\lt c$ の場合は乙の勝ちとし，ゲームは終了する．

(iv) $a+b\geqq c$ の場合は，乙はもう $1$ 回カードをひく．そのカードに書かれた数を $d$ とする． $a+b\lt c+d \leqq N$ の場合は乙の勝ちとし，それ以外の場合は甲の勝ちとする．

(ii)の段階で，甲にとってどちらの選択が有利であるかを， $a$ の値に応じて考える．以下の問いに答えよ．

(1) 甲が $2$ 回目にカードをひかないことにしたとき，甲の勝つ確率を $a$ を用いて表せ．

(2) 甲が $2$ 回目にカードをひくことにしたとき，甲の勝つ確率を $a$ を用いて表せ．

ただし，各カードがひかれる確率は等しいものとする．

[6] $r$ を正の実数とする． $xyz$ 空間において
$x^2+y^2 \leqq r^2$ ，
$y^2+z^2 \geqq r^2$ ，
$z^2+x^2 \leqq r^2$
をみたす点全体からなる立体の体積を求めよ．

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