[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

2007年(平成19年)東京大学前期-数学(文科)[2]

2024.02.19記

[2] $r$ は $0\lt r\lt 1$ をみたす実数， $n$ は $2$ 以上の整数とする．
平面上に与えられた $1$ つの円を，次の条件①，②をみたす2つの円で置き換える操作 ( $\mathbf{P}$ ) を考える．

① 新しい2つの円の半径の比は $r:1-r$ で，半径の和はもとの円の半径に等しい．

② 新しい $2$ つの円は互いに外接し，もとの円に内接する．

以下のようにして，平面上に $2^n$ 個の円を作る．

$\bullet$ 最初に，平面上に半径 $1$ の円を描く．

$\bullet$ 次に，この円に対して操作 ( $\mathbf{P}$ ) を行い， $2$ つの円を得る（これを $1$ 回目の操作という）．

$\bullet$ $k$ 回目の操作で得られた $2^k$ 個の円のそれぞれについて，
操作 ( $\mathbf{P}$ ) を行い， $2^{k+1}$ 個の円を得る（ $1 \leqq k \leqq n-1$ ）．

(1) $n$ 回目の操作で得られる $2^n$ 個の円の周の長さの和を求めよ．

(2) $2$ 回目の操作で得られる $4$ つの円の面積の和を求めよ．

(3) $n$ 回目の操作で得られる $2^n$ 個の円の面積の和を求めよ．

2021.02.05記

[解答]
(1) 周の長さは高さ] $\times$ 円周率であり，積み上げた円の高さはずっと1だから $2\pi$

操作1回あたり，面積は $r^2+(1-r)^2=2r^2-2r+1$ 倍になるので $\pi(2r^2-2r+1)^n$

(2) $\pi(2r^2-2r+1)^2$
(3) $\pi(2r^2-2r+1)^n$