2004年(平成16年)東京大学前期-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.02.18記

[1] $xy$ 平面の放物線 $y=x^2$ 上の3点 $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ ， $\mbox{R}$ が次の条件をみたしている．

$\triangle\mbox{PQR}$ は一辺の長さ $a$ の正三角形であり，点 $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ を通る直線の傾きは $\sqrt{2}$ である．

このとき， $a$ の値を求めよ．

[2] 自然数の $2$ 乗になる数を平方数という．以下の問いに答えよ．

(1) $10$ 進法で表して $3$ 桁以上の平方数に対し， $10$ の位の数を $a$ ， $1$ の位の数を $b$ とおいたとき， $a+b$ が偶数となるならば， $b$ は $0$ または $4$ であることを示せ．

(2) $10$ 進法で表して $5$ 桁以上の平方数に対し， $1000$ の位の数， $100$ の位の数， $10$ の位の数，および $1$ の位の数の $4$ つすべてが同じ数となるならば，その平方数は $10000$ で割り切れることを示せ．

[3] 半径 $10$ の円 $C$ がある．半径 $3$ の円板 $D$ を，円 $C$ に内接させながら，円 $C$ の円周に沿って滑ることなく転がす．円板 $D$ の周上の一点を $\mbox{P}$ とする．点 $\mbox{P}$ が，円 $C$ の円周に接してから再び円 $C$ の円周に接するまでに描く曲線は，円 $C$ を2つの部分に分ける．それぞれの面積を求めよ．

[4] 関数 $f_n(x)$ （ $n=1$ ， $2$ ， $3$ ，…）を次のように定める．
$f_1(x)=x^3-3x$ ，
$f_2(x)=\{ f_1(x) \}^3-3f_1(x)$ ，
$f_3(x)=\{ f_2(x) \}^3-3f_2(x)$ ，
以下同様に， $n \geqq 3$ に対して関数 $f_n(x)$ が定まったならば，関数 $f_{n+1}(x)$ を $f_{n+1}(x)=\{ f_n(x) \}^3-3f_n(x)$ で定める．このとき，以下の問いに答えよ．

(1) $a$ を実数とする． $f_1(x)=a$ をみたす実数 $x$ の個数を求めよ．

(2) $a$ を実数とする． $f_2(x)=a$ をみたす実数 $x$ の個数を求めよ．

(3) $n$ を $3$ 以上の自然数とする． $f_n(x)=0$ をみたす実数 $x$ の個数は $3^n$ であることを示せ．

[5] $r$ を正の実数とする． $xyz$ 空間内の原点 $\mbox{O}(0,0,0)$ を中心とする半径 $1$ の球を $A$ ，点 $\mbox{P}(r,0,0)$ を中心とする半径 $1$ の球を $B$ とする．球 $A$ と球 $B$ の和集合の体積を $V$ とする．ただし，球 $A$ と球 $B$ の和集合とは，球 $A$ または球 $B$ の少なくとも一方に含まれる点全体よりなる立体のことである．

(1) $V$ を $r$ の関数として表し，そのグラフの概形をかけ．

(2) $V=8$ となるとき， $r$ の値はいくらか．四捨五入して小数第 $1$ 位まで求めよ．

注意：円周率 $\pi$ は $3.14\lt \pi\lt 3.15$ をみたす．

[6] 片面を白色に，もう片面を黒色に塗った正方形の板が $3$ 枚ある．この3枚の板を机の上に横に並べ，次の操作を繰り返し行う．

さいころを振り，出た目が $1$ ， $2$ であれば左端の板を裏返し， $3$ ， $4$ であればまん中の板を裏返し， $5$ ， $6$ であれば右端の板を裏返す．たとえば，最初，板の表の色の並び方が「白白白」であったとし， $1$ 回目の操作で出たさいころの目が $1$ であれば，色の並び方は「黒白白」となる．さらに $2$ 回目の操作を行って出たさいころの目が $5$ であれば，色の並び方は「黒白黒」となる．

(1) 「白白白」から始めて， $3$ 回の操作の結果，色の並び方が「黒白白」となる確率を求めよ．

(2) 「白白白」から始めて， $n$ 回の操作の結果，色の並び方が「白白白」または「白黒白」となる確率を求めよ．

注意：さいころは1から6までの目が等確率で出るものとする．

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